La fórmula del momento angular se discutirá en detalle en este artículo. El equivalente giratorio del momento lineal es la fórmula del momento angular. Ambas nociones tienen que ver con la velocidad a la que algo se mueve. También aborda la dificultad de cambiar la velocidad. El momento lineal, por otro lado, tiene solo dos variables: masa y velocidad. Comenzando con una ecuación bastante similar, se calcula el momento angular. Como resultado, puede parecer que tiene una complejidad similar a primera vista. Como veremos, es mucho más difícil que el impulso lineal e incorpora muchas más variables.
Momento angular
El momento angular también se denomina momento de momento lineal. El momento angular se define como el atributo de cualquier objeto giratorio que está determinado por el producto del momento de inercia y la velocidad angular.
El momento angular o momento de momento lineal es una variable mecánica de rotación que es comparable al momento lineal. Un par es similar al momento de una fuerza. Si p es el momento lineal instantáneo de una partícula en un movimiento circular, L = r × p representa su momento angular en ese momento, donde r es el vector de posición del eje de rotación.
Kg.m 2 .s -1 es la unidad de medida del SI.
La fórmula dimensional es, L 2 MT -1 .
Momento de inercia
El momento de inercia se define como la suma de los productos de la masa de cada partícula en el cuerpo con el cuadrado de su distancia desde el eje de rotación, lo que expresa el potencial de un cuerpo para resistir la aceleración angular.
Aunque el término ‘momento de inercia’ puede resultar desconcertante, todos ya están familiarizados con las ideas involucradas en su cálculo. Suponga que hay dos varillas de madera. Son del mismo peso y diámetro, pero uno mide un pie de largo y el otro diez pies de largo. Si lo lanza por encima de la cabeza hacia un objetivo, ¿cuál girará más rápido? ¿Hacer girar una pelota alrededor de la cabeza con una cuerda de 2 pies o con una cuerda de 5 pies requiere más energía? ¿Qué pasa si la masa de la pelota aumenta por un factor de dos?
¿No se dio cuenta de que iba a ser más fácil girar con la caña más pequeña y la cuerda más corta? Entonces, si comenzó a calcular el momento de inercia de un objeto. Si bien uno puede asociar el término «momento» con el tiempo, en realidad se relaciona con torsión o torsión en matemáticas y física. El momento de inercia describe lo difícil que es torcer un objeto sobre un eje específico. La forma, la masa y el eje de rotación de cada elemento definen su momento de inercia.
Momento de inercia de la masa puntual, I = mr 2
Momento de Inercia de la varilla, I = mL 2 / 12 (Centro)
Expresión del momento angular en términos del momento de inercia
En el diagrama se ve un objeto rígido que gira con una velocidad angular constante ω alrededor de un eje perpendicular al plano de papel. Supongamos que el objeto está formado por N partículas con masas m 1 , m 2 ,….m N y distancias perpendiculares r 1 , r 2 ,….r N desde el eje de rotación. A medida que el objeto gira, todas estas partículas conducen UCM con la misma velocidad angular ω pero diferentes velocidades lineales v 1 = r 1 ω, v 2 = r 2 ω, … v N = r N ω.
Las direcciones de velocidad individuales, v 1 , v 2 , etc., están a lo largo de las tangentes de sus respectivas trayectorias. El momento lineal de la partícula inicial es p 1 = m 1 v 1 = m 1 r 1 ω. Viaja en la misma dirección que v 1 .
Por consiguiente, la magnitud de su momento angular es L 1 = p 1 r 1 = m 1 r 1 2 ω. Del mismo modo, L 2 = metro 2 r 2 2 ω, L 3 = metro 3 r 3 2 ω, … L norte = metro norte r norte 2 ω.
Todos estos momentos angulares están dirigidos a lo largo del eje de rotación de un cuerpo rígido con un eje de rotación fijo, que puede determinarse usando la regla del pulgar derecho. Sus magnitudes se pueden sumar algebraicamente porque todas tienen la misma dirección. Como resultado, la magnitud del momento angular del cuerpo está dada por,
L = metro 1 r 1 2 ω + metro 2 r 2 2 ω +….+ metro norte r norte 2 ω
∴ L = (metro 1 r 1 2 + metro 2 r 2 2 +…+ metro norte r norte 2 )ω = yoω
El momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación dado es I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 +…+ m N r N 2 . Si el momento de inercia I reemplaza la masa, la declaración de momento angular L = Iω es comparable a la expresión de momento lineal p = mv, que es su significado físico.
Momento angular Número cuántico
El número cuántico azimutal o número cuántico secundario es intercambiable con el número cuántico de momento angular. Es un número cuántico que determina el momento angular de un orbital atómico, así como su tamaño y forma. El valor más común está entre 0 y 1.
Regla del pulgar de la mano derecha
- Si coloca su mano derecha de modo que los dedos apunten en la dirección de r.
- El rizo está así orientado en la dirección del momento lineal (p).
- El pulgar extendido representa la dirección del momento angular (L).
Ejemplos de momento angular
- Giroscopio
Para conservar su orientación, un giroscopio utiliza el principio del momento angular. Funciona con una rueda giratoria de tres grados de libertad. Se bloquea en la orientación cuando se gira a una velocidad rápida y no se desvía de ella. Esto es útil en aplicaciones espaciales donde el control de la actitud de una nave espacial es fundamental.
- Patinador de hielo
Cuando los patinadores sobre hielo comienzan a girar, sus manos y piernas se separan ampliamente del centro de su cuerpo. Ponen sus manos y piernas más cerca de sus cuerpos cuando el giro requiere una mayor velocidad angular. Giran más rápido como resultado de la conservación del momento angular.
Esfuerzo de torsión
La fuerza que puede causar que un objeto gire a lo largo de un eje se mide por torque. En cinemática lineal, la fuerza es lo que impulsa un objeto hacia adelante. La aceleración angular también es causada por el par. Como resultado, se puede pensar en el par como el equivalente giratorio de la fuerza lineal. El eje de rotación es el punto alrededor del cual gira un objeto. El par se define como la propensión de una fuerza a girar o torcerse en la física.
La fórmula del par,
τ = r × F
Conservación del momento angular
Todo el mundo ha visto la conservación del momento lineal, que establece que, en ausencia de una fuerza externa desequilibrada, se conserva el momento lineal de un sistema aislado. En dinámica rotacional, el par y el momento angular son similares a la fuerza y al momento lineal, como se indicó anteriormente. Con las modificaciones adecuadas, esto se puede convertir en la conservación del momento angular.
Como se ve arriba, el momento angular o momento de momento lineal del sistema es L = r × p
Donde, r = vector de posición desde el eje de rotación, p = momento lineal.
Diferenciando con respecto al tiempo,
dL/dt = d/dt(r × p)
∴ dL/dt = r × (dp/dt) + (dr/dt) × p ⇢ (ecuación a)
Ahora, (dr/dt) = v y (dp/dt) = F puestos en la ecuación a.
∴ dL/dt = r × F + m(v × v)
Ahora, (v × v) = 0
∴ dL/dt = r × F
Pero, r × F es el par.
∴ τ = dL/dt
Así, si τ = 0, dL/dt = 0 o L = constante.
Como resultado, en ausencia de un par externo desigual τ, se conserva el momento angular L. Este es el principio de conservación del momento angular, que es similar a la conservación del momento lineal.
La conservación del momento angular se demuestra en espectáculos de ballet, acróbatas de circo y deportes como el patinaje sobre hielo y los clavados en piscinas. L = Iω = I(2πη) es constante en todos estos casos. En consecuencia, al aumentar el momento de inercia I disminuyo la velocidad angular y, en consecuencia, la frecuencia de revolución η. Además, al disminuir el momento de inercia aumenta la frecuencia.
Cosas a tener en cuenta cuando se trata del momento angular
- El momento angular se define como el atributo de cualquier objeto giratorio que está determinado por el producto del momento de inercia y la velocidad angular.
- La magnitud del momento angular ‘L’ se puede calcular usando la siguiente fórmula: L = rmv sen Φ
- El giro y el momento angular orbital son los dos tipos de momento angular.
- L = r × p es la fórmula para calcular el momento angular de un objeto puntual.
- L = I × ω es la fórmula para calcular el momento angular de un objeto largo.
- El radio del círculo determina la velocidad perpendicular de un cuerpo cuando no se aplica torsión.
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Un asteroide con una masa de 1,7 × 10 5 kg y una velocidad relativa de 25 km/s choca con la Tierra en el ecuador, tangencialmente y en la dirección de rotación de la Tierra, y se aloja allí. Calcula el cambio porcentual en la velocidad angular de la Tierra como resultado de la colisión utilizando el momento angular.
Solución:
M a = 1,7 × 10 5 kg
v a = 25 km/s ((1000 m/s) / (1 km/s)) = 2,5 × 10 4 m/s
Considerar,
R = 1,50 × 10 11 m
ME = 5,97 × 10 24 kg
El momento de inercia de un asteroide se calcula de la siguiente manera:
yo un = M un R 2
R denota la distancia entre el Sol y el planeta Tierra, que es de 1,50 × 10 11 m.
El momento de inercia de la Tierra se puede escribir como,
YO E = 2/5 M E R 2
M E denota la masa de la Tierra, que es 5,97 × 10 24 kg.
La velocidad angular de un asteroide se puede calcular de la siguiente manera:
ω a = v a /R
Aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento. La ecuación se puede escribir de la siguiente manera:
yo una ω una + yo mi ω mi = (yo una + yo mi )ω ⇢ (Ecuación 1)
Aquí, ω a representa la velocidad angular de un asteroide, ω E representa la velocidad angular de un asteroide y ω es la velocidad angular neta.
Ahora se puede ignorar el momento de inercia del satélite en relación con la Tierra Ia . Entonces, usando la ecuación (1), la conservación del momento angular se puede escribir como,
yo un ω un + yo mi ω mi = yo mi ω
ω = (yo un ω un + yo mi ω mi ) / yo mi ⇢ (Ecuación 2)
La velocidad angular de la Tierra se puede calcular como,
ω E =1 rev/año (2π rad / 1rev)(1 año / 86400s)
≈ 7,27 × 10 -5 rad/s
Los siguientes resultados se obtienen reemplazando los términos relevantes en la ecuación (2):
ω = (METRO un R 2 × v un /R + 2/5M E R 2 × ω E ) / (2/5M E R 2 )
Cuando los valores se reemplazan en la ecuación anterior,
ω ≈ 7,27 × 10 -5 rad/s
Después de la colisión, el cambio porcentual en la velocidad angular de la Tierra se puede escribir como,
%C = (ω−ω E )/ω E × 100%
%C ≈ 0%
La velocidad angular cambia en una pequeña proporción en este caso. Como resultado, el cambio porcentual en la velocidad angular de la Tierra como resultado de la colisión es de alrededor del 0%.
Pregunta 2: Defina el momento angular.
Responder:
El momento angular se define como el atributo de cualquier objeto giratorio que está determinado por el producto del momento de inercia y la velocidad angular.
Pregunta 3: Con una velocidad angular de 100 rad/s, un cilindro sólido de 20 kg de masa gira alrededor de su eje. El radio del cilindro es de 0,25 m de diámetro. ¿Cuál es la KE para la rotación del cilindro? ¿Qué tan grande es el momento angular del cilindro alrededor de su eje?
Solución :
Momento de inercia del cilindro macizo,
yo = M × (R 2 / 2)
∴ yo = 20 × ((0.25) 2 / 2)
∴ I = 0,625 kgm 2
Energía cinética,
K = (1/2)Iω 2
∴ K = 1/2 × 0,625 × 100 × 100
∴ K = 3125 julios
Momento angular = Iω
∴ Momento angular = 0,625 × 100
∴ Momento angular = 6,25 kgm 2 /s
Pregunta 4: Explique los ejemplos de momento angular.
Responder :
- Giroscopio:
Para conservar su orientación, un giroscopio utiliza el principio del momento angular. Funciona con una rueda giratoria de tres grados de libertad. Se bloquea en la orientación cuando se gira a una velocidad rápida y no se desvía de ella. Esto es útil en aplicaciones espaciales donde el control de la actitud de una nave espacial es fundamental.
- Patinador de hielo:
Cuando los patinadores sobre hielo comienzan a girar, sus manos y piernas se separan ampliamente del centro de su cuerpo. Ponen sus manos y piernas más cerca de sus cuerpos cuando el giro requiere una mayor velocidad angular. Giran más rápido como resultado de la conservación del momento angular.
Pregunta 5: Explique el número cuántico del momento angular.
Responder:
El número cuántico azimutal o número cuántico secundario es intercambiable con el número cuántico de momento angular. Es un número cuántico que determina el momento angular de un orbital atómico, así como su tamaño y forma. El valor más común está entre 0 y 1.
Pregunta 6: Explicar Torque.
Responder:
La fuerza que puede causar que un objeto gire a lo largo de un eje se mide por torque. En cinemática lineal, la fuerza es lo que impulsa un objeto hacia adelante. Una aceleración angular también es causada por el par. Como resultado, se puede pensar en el par como el equivalente giratorio de la fuerza lineal. El eje de rotación es el punto alrededor del cual gira un objeto. El par se define como la propensión de una fuerza a girar o torcerse en la física.
Fórmula de par,
τ = r × F
Pregunta 7: Explique brevemente la regla del pulgar de la mano derecha.
Responder:
Regla del pulgar de la mano derecha:
- Si uno coloca su mano derecha de modo que los dedos apunten en la dirección de r.
- El rizo está así orientado en la dirección del momento lineal (p).
- El pulgar extendido representa la dirección del momento angular (L).
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por bhagyashrijadhav25630 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA