En geometría, un punto medio es el punto medio de un segmento de línea que es equidistante de ambos puntos finales. Ese punto divide la línea en dos mitades iguales. Hay instancias en Geometría de coordenadas en las que necesitamos saber el punto medio de dos puntos dados o el punto medio de un segmento de línea. En un plano cartesiano, el punto medio de una línea tiene su valor x a medio camino entre los valores x de ambos extremos y su valor y a medio camino entre los valores y de ambos extremos.
Para un segmento de línea AB en coordenadas cartesianas donde la coordenada del eje x del punto A es x 1 y la coordenada del eje y del punto A es y 1 y, de manera similar, la coordenada del eje x del punto B es x 2 y la coordenada y- La coordenada del eje del punto B es y 2, el punto medio de la recta estará dado por (x m ,y m ).
La fórmula para el punto medio (x m ,y m ) es,
Derivación de fórmula
Sean P(x 1 ,y 1 ) y Q(x 2 ,y 2 ) los dos extremos de una recta dada en un plano de coordenadas, y R(x,y) el punto de esa recta que divide a PQ en la razón m 1 :m 2 tal que
PR/RQ = m1/m2 ...(1)
Dibuje las líneas PM, QN y RL perpendiculares en el eje x y a través de R, dibuje una línea recta paralela al eje x para encontrar MP en S y NQ en T.
Por lo tanto, a partir de la figura, podemos decir,
SR = ML = OL - OM = x - x1 ...(2) RT = LN = ON - Ol = x2 - x ...(3) PS = MS - MP = LR - MP = y - y1 ...(4) TQ = NQ - NT = NQ - LR = y2 - y ...(5)
Ahora el triángulo SPR es similar al triángulo TQR ,
Por lo tanto,
SR/RT = PR/RQ
Usando las ecuaciones 2, 3 y 1, sabemos,
x - x1 / x2 - x = m1 / m2 m2x - m2x1 = m1x2 - m1x m1x + m2x = m1x2 + m2x1 (m1 + m2)x = m1x2 + m2x1 x = (m1x2 + m2x1) / (m1 + m2)
Ahora el triángulo SPR es similar al triángulo TQR,
Por lo tanto,
PS/TQ = PR/RQ
Usando las ecuaciones 4, 5 y 1, sabemos,
y - y1 / y2 - y = m1 / m2 m2y - m2y1 = m1y2 - m1y m1y + m2y = m1y2 + m2y1 (m1 + m2)y = m1y2 + m2y1 y = (m1y2 + m2y1) / (m1 + m2)
Por lo tanto, las coordenadas de R(x,y) son,
R(x, y)= (m1x2 + m2x1) / (m1 + m2), (m1y2 + m2y1) / (m1 + m2)
Como teníamos que calcular el punto medio, mantenemos los valores de m 1 y m 2 iguales, es decir
Para el punto medio,
m1 = m2 = 1
Por eso,
x, y = (1.x2 + 1.x1) / (1 + 1), (1.y2 + 1.y1) / (1 + 1)
x, y = (x 2 + x 1 ) / 2, (y 2 + y 1 ) / 2
Ejemplos de problemas sobre la fórmula del punto medio
Ejemplo 1: ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea AB donde el punto A está en (6,8) y el punto B está en (3,1)?
Solución: Sea el punto medio M(x m ,y m ),
x m = (x 1 + x 2 ) / 2
X1 = 6 , X2 = 3
x metro = (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5
y m = (y 1 + y 2 ) / 2
y 1 = 8, y 2 = 1
y m = (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5
Por lo tanto, el punto medio de la línea AB es (4.5, 4.5).
Ejemplo 2: ¿Cuál es el punto medio del segmento de línea AB donde el punto A está en (-6,4) y el punto B está en (4,2)?
Solución: Sea el punto medio M(x m ,y m ),
x 1 = -6, x 2 = 4, y 1 = 4, y 2 = 2
(x metro , y metro ) = ((x 1 + x 2 ) / 2, (y 1 + y 2 ) / 2)
(x metro , y metro ) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
(x metro , y metro ) = ((-2) / 2, (6) / 2)
(x metro , y metro ) = (-1, 3)
Por lo tanto, el punto medio de la línea AB es (-1, 3).
Ejemplo 3: Encuentra el valor de p para que (–2, 2.5) sea el punto medio entre (p, 2) y (–1, 3).
Solución: Sea el punto medio M(x m , y m ) = (-2, 2.5) donde,
x1 = -1, xm = -2
La coordenada y del punto final ya se conoce como 2, por lo tanto, solo necesitamos encontrar la coordenada x
x m = (x 1 + x 2 ) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + p
pag = -3
Por lo tanto, el otro extremo de la línea es (-3, 2).