La trigonometría es un campo de las matemáticas que explora las conexiones entre las longitudes de los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. Es el estudio de cómo se conectan los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas que se utilizan para estudiar este campo de las matemáticas son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Los términos ‘Trigonon’ y ‘Metron’, que simbolizan un triángulo y una medida, respectivamente, se combinan para hacer trigonometría. Por lo tanto, ayuda en el cálculo de dimensiones desconocidas de un triángulo rectángulo al emplear ecuaciones e identidades basadas en esta relación.
Relación trigonométrica del seno
Una razón trigonométrica se define como la razón de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo. La razón del seno se expresa como la razón de la longitud del lado opuesto dividida por la longitud de la hipotenusa. Se denota por la abreviatura pecado.
Si θ es el ángulo que se encuentra entre la base y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces,
sen θ = Perpendicular/Hipotenusa
Fórmula del semiángulo del seno (Sen θ /2)
Las fórmulas de semiángulo generalmente se expresan mediante θ/2 en trigonometría, donde θ es el ángulo. El medio ángulo es un ángulo submúltiplo en este caso. Las fórmulas de medio ángulo se utilizan para calcular los valores precisos de las relaciones trigonométricas de ángulos estándar como 30°, 45° y 60°. Usando los valores de proporción para estos ángulos convencionales, podemos obtener los valores de proporción para ángulos difíciles como 22,5° (la mitad de 45°) o 15° (la mitad de 30°). El semiángulo del seno se denota con la abreviatura sen θ/2. Es una función trigonométrica que devuelve el valor de la función sin para un medio ángulo. La función sen θ tiene un período de 2 mientras que sen θ/2 tiene un período de 4.
sen θ/2 = ±√((1 – cos θ) / 2)
Derivación
La fórmula para el semiángulo del seno se obtiene usando las fórmulas del ángulo doble para el seno y el coseno.
Sabemos, cos 2θ = 1 – 2 sen 2 θ …… (1)
Sustituya θ como θ/2 en la ecuación (1).
=> cos θ = 1 – 2 sen 2 (θ/2)
Resuelve la ecuación para sen θ/2.
=> 2 sen 2 (θ/2) = 1 – cos θ
=> sen 2 (θ/2) = (1 – cos θ)/2
=> sen θ/2 = ±√((1 – cos θ) / 2)
Esto deriva la fórmula para la relación del ángulo medio del seno.
Problemas de muestra
Problema 1. Si cos θ = 3/5, encuentra el valor de sen θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, cos θ = 3/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
sen θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)
= √((1 – 3/5) / 2)
= √((2/5) / 2)
= 1/√5
Problema 2. Si cos θ = 12/13, encuentra el valor de sen θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, cos θ = 12/13.
Usando la fórmula que obtenemos,
sen θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)
= √((1 – 12/13) / 2)
= √((1/13) / 2)
= √(2/5)
Problema 3. Si sen θ = 8/17, encuentra el valor de sen θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, sen θ = 8/17.
Encuentra el valor de cos θ usando la fórmula sen 2 θ + cos 2 θ = 1.
cos θ = √(1 – (64/289))
= √(225/289)
= 15/17
Usando la fórmula que obtenemos,
sen θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)
= √((1 – 15/17) / 2)
= √((2/17) / 2)
= 1/√17
Problema 4. Si sec θ = 5/4, encuentra el valor de sen θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, sec θ = 5/4.
Usando cos θ = 1/seg θ, obtenemos cos θ = 4/5.
Usando la fórmula que obtenemos,
sen θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)
= √((1 – 4/5) / 2)
= √((1/5) / 2)
= 1/√10
Problema 5. Si tan θ = 12/5, encuentra el valor de sen θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, tan θ = 12/5.
Claramente, cos θ = 5/√(12 2 + 5 2 ) = 5/13
Usando la fórmula que obtenemos,
sen θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)
= √((1 – 5/13) / 2)
= √((8/13) / 2)
= √(4/13)
= 2/√13
Problema 6. Si cot θ = 8/15, encuentra el valor de sen θ/2 usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos, cot θ = 8/15.
Claramente, cos θ = 8/√(8 2 + 15 2 ) = 8/17
Usando la fórmula que obtenemos,
sen θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)
= √((1 – 8/17) / 2)
= √((9/17) / 2)
= 3(√(2/17))
Problema 7. Encuentra el valor de sen 15° usando la fórmula del medio ángulo.
Solución:
Tenemos que encontrar el valor de sen 15°.
Tomemos θ/2 = 15°
=> θ = 30°
Usando la fórmula del medio ángulo que tenemos,
sen θ/2 = √((1 – cos θ) / 2)
= √((1 – cos 30°) / 2)
= √((1 – (√3/2)) / 2)
= (2 – √3)/4