La tasa de cambio de una cantidad variable se define como la tasa a la que cambia en relación con otra cantidad. Para decirlo de otra manera, la tasa de cambio divide la cantidad de cambio en una variable por la cantidad equivalente de cambio en otra variable. Describe el concepto de cómo una cantidad cambia en proporción a la otra. Tiene fórmulas definidas para coordenadas y funciones lineales también.
Fórmula de tasa de cambio
La tasa de cambio de las coordenadas (x 1 , y 1 ) con respecto a las otras coordenadas (x 2 , y 2 ) viene dada por la relación de la diferencia entre las coordenadas y y la de las coordenadas x. En otras palabras, la tasa de cambio es igual a la pendiente de la línea que une estos puntos. También se puede denotar con el símbolo m.
R = Δy/Δx = (y 2 – y 1 ) / (x 2 – x 1 )
Dónde,
R es la tasa de cambio de la variable y con respecto a la variable x,
(x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) son las coordenadas.
Para una función lineal y = f(x), la tasa de cambio se calcula para el intervalo (a, b) donde b > a. Su fórmula viene dada por el cociente de la diferencia entre los valores de la función de cada intervalo y la diferencia entre los valores de los intervalos.
R = (f(b) – f (a)) / (b – a)
Aquí, R es la tasa de cambio de la variable y con respecto a la variable x para el intervalo (a, b).
Ejemplos de problemas
Problema 1: Calcula la tasa de cambio de las coordenadas (4, 11) y (2, 5).
Solución:
Tenemos,
(x 1 , y 1 ) = (4, 11)
(x 2 , y 2 ) = (2, 5)
Usando la fórmula, tenemos
R = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
= (5 – 11)/(2 – 4)
= -6/(-2)
= 3
Problema 2: La tasa de cambio de dos puntos (x, 3) y (1, 6) es 7. Encuentra el valor de x.
Solución:
(x1 , y1 ) = (x, 3 )
(x 2 , y 2 ) = (1, 6)
R = 7
Usando la fórmula, tenemos
R = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 7 = (6 – 3)/(1 – x)
=> 7 = 3/(1 – x)
=> 7 – 7x = 3
=> 7x = 4
=> x = 4/7
Problema 3: La tasa de cambio de dos puntos (5, 4) y (3, y) es 4. Encuentra el valor de y.
Solución:
(x 1 , y 1 ) = (5, 4)
(x 2 , y 2 ) = (3, y)
R = 4
Usando la fórmula, tenemos
R = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 4 = (y – 4)/(3 – 5)
=> 4 = (y – 4)/(-2)
=> -8 = y – 4
=> y = -4
Problema 4: Calcula la tasa de cambio de la función f(x) = x 2 si el intervalo es (3, 5).
Solución:
Tenemos, f(x) = x 2
Calcular el valor de f(3) y f(5).
f(3) = 3 2 = 9
f(5) = 5 2 = 25
Usando la fórmula, tenemos
R = (f(b) – f(a))/(b – a)
= (f(5) – f(3))/ (5 – 3)
= (25 – 9)/2
= 16/2
= 8
Problema 5: Calcula la tasa de cambio para la función f(x) = 4 – 3x 3 si el intervalo es (1, 2).
Solución:
Tenemos, f(x) = 4 – 3x 3
Calcular el valor de f(1) y f(2).
f(1) = 4 – 3(1) 3 = 4 – 3 = 1
f(2) = 4 – 3(2) 3 = 4 – 24 = -20
Usando la fórmula,
R = (f(b) – f(a))/(b – a)
= (f(2) – f(1))/ (2 – 1)
= -20 – 1
= -21
Problema 6: La tasa de cambio de dos puntos (x, 7) y (9, 2) es 5. Encuentra el valor de x.
Solución:
(x1 , y1 ) = (x, 7 )
(x 2 , y 2 ) = (9, 2)
R = 5
Usando la fórmula,
R = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 5 = (2 – 7)/(9 – x)
=> 5 = -5/(9 – x)
=> 45 – 5x = -5
=> 5x = 50
=> x = 10
Problema 7: La tasa de cambio de dos puntos (1, 5) y (8, y) es 9. Encuentra el valor de y.
Solución:
(x 1 , y 1 ) = (1, 5)
(x 2 , y 2 ) = (8, y)
R = 9
Usando la fórmula,
R = (y 2 – y 1 )/(x 2 – x 1 )
=> 9 = (y – 5)/(8 – 1)
=> 9 = (y – 5)/7
=> y – 5 = 63
=> y = 68