El punto donde la parábola y su eje de simetría se cortan se llama vértice de una parábola. Se utiliza para determinar las coordenadas del punto en el eje de simetría de la parábola donde lo cruza. Para la ecuación estándar de una parábola y = ax 2 + bx + c, el punto de vértice es la coordenada (h, k). Si el coeficiente de x 2 en la ecuación es positivo (a > 0), entonces el vértice se encuentra en la parte inferior, de lo contrario, se encuentra en el lado superior.
Fórmula de vértice
Para la forma de vértice de la parábola, y = a(x – h) 2 + k, las coordenadas (h, k) del vértice son,
(h, k) = (-b/2a, -D/4a)
dónde,
a es el coeficiente de x 2 ,
b es el coeficiente de x,
D = b 2 – 4ac es el discriminante de la forma estándar y = ax 2 + bx + c.
Derivación
Supongamos que tenemos una parábola con ecuación estándar como, y = ax 2 + bx + c.
Esto se puede escribir como,
y – c = hacha 2 + bx
y – c = a (x 2 + bx/a)
Sumando y restando b 2 /4a 2 en la derecha, obtenemos
y – c = a (x 2 + bx/a + b 2 /4a 2 – b 2 /4a 2 )
y – c = a ((x + b/2a) 2 – b 2 /4a 2 )
y – c = a (x + b/2a) 2 – b 2 /4a
y = a (x + b/2a) 2 – b 2 /4a + c
y = a (x + b/2a) 2 – (b 2 /4a – c)
y = a (x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/4a
Sabemos, D = b 2 – 4ac, por lo que la ecuación se convierte en,
y = a (x + b/2a) 2 – D/4a
Comparando la ecuación anterior con la forma de vértice y = a(x – h) 2 + k, obtenemos
h = -b/2a yk = -D/4a
Esto deriva la fórmula para las coordenadas del vértice de una parábola.
Problemas de muestra
Problema 1. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y = 2x 2 + 4x – 4.
Solución:
Tenemos la ecuación como, y = 2x 2 + 4x – 4.
Aquí, a = 2, b = 4 y c = -4.
Ahora bien, se sabe que las coordenadas del vértice están dadas por (-b/2a, -D/4a) donde D = b 2 – 4ac.
D = (4) 2 – 4 (2) (-4)
= 16 + 32
= 48
Entonces, x – coordenada del vértice = -4/2(2) = -4/4 = -1.
y – coordenada del vértice = -48/4(2) = -48/8 = -6
Por tanto, el vértice de la parábola es (-1, -6).
Problema 2. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y = 3x 2 + 5x – 2.
Solución:
Tenemos la ecuación como, y = 3x 2 + 5x – 2.
Aquí, a = 3, b = 5 y c = -2.
Ahora bien, se sabe que las coordenadas del vértice están dadas por (-b/2a, -D/4a) donde D = b 2 – 4ac.
D = (5) 2 – 4 (3) (-2)
= 25 + 24
= 49
Entonces, x – coordenada del vértice = -5/2(3) = -5/6
y – coordenada del vértice = -49/4(3) = -49/12
Por tanto, el vértice de la parábola es (-5/6, -49/12).
Problema 3. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y = 3x 2 – 6x + 1.
Solución:
Tenemos la ecuación como, y = 3x 2 – 6x + 1.
Aquí, a = 3, b = -6 y c = 1.
Ahora bien, se sabe que las coordenadas del vértice están dadas por (-b/2a, -D/4a) donde D = b 2 – 4ac.
D = (-6) 2 – 4 (3) (1)
= 36 – 12
= 24
Entonces, x – coordenada del vértice = 6/2(3) = 6/6 = 1
y – coordenada del vértice = -24/4(3) = -24/12 = -2
Por tanto, el vértice de la parábola es (1, -2).
Problema 4. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y = 3x 2 + 8x – 8.
Solución:
Tenemos la ecuación como, y = 3x 2 + 8x – 8.
Aquí, a = 3, b = 8 y c = -8.
Ahora bien, se sabe que las coordenadas del vértice están dadas por (-b/2a, -D/4a) donde D = b 2 – 4ac.
D = (8) 2 – 4 (3) (-8)
= 64 + 96
= 160
Entonces, x – coordenada del vértice = -8/2(3) = -8/6 = -4/3
y – coordenada del vértice = -160/4(3) = -160/12 = -40/3
Por tanto, el vértice de la parábola es (-4/3, -40/3).
Problema 5. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y = 6x 2 + 12x + 4.
Solución:
Tenemos la ecuación como, y = 6x 2 + 12x + 4.
Aquí, a = 6, b = 12 y c = 4.
Ahora bien, se sabe que las coordenadas del vértice están dadas por (-b/2a, -D/4a) donde D = b 2 – 4ac.
D = (12) 2 – 4 (6) (4)
= 144 – 96
= 48
Entonces, x – coordenada del vértice = -12/2(6) = -12/12 = -1
y – coordenada del vértice = -48/4(6) = -48/24 = -2
Por tanto, el vértice de la parábola es (-1, -2).
Problema 6. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y = x 2 + 7x – 5.
Solución:
Tenemos la ecuación como, y = x 2 + 7x – 5.
Aquí, a = 1, b = 7 y c = -5.
Ahora bien, se sabe que las coordenadas del vértice están dadas por (-b/2a, -D/4a) donde D = b 2 – 4ac.
D = (7) 2 – 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Entonces, x – coordenada del vértice = -7/2(1) = -7/2
y – coordenada del vértice = -69/4(1) = -69/4
Por tanto, el vértice de la parábola es (-7/2, -69/4).
Problema 7. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola y = 2x 2 + 10x – 3.
Solución:
Tenemos la ecuación como, y = x2 + 7x – 5.
Aquí, a = 1, b = 7 y c = -5.
Ahora bien, se sabe que las coordenadas del vértice están dadas por (-b/2a, -D/4a) donde D = b2 – 4ac.
D = (7)2 – 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Entonces, x – coordenada del vértice = -7/2(1) = -7/2
y – coordenada del vértice = -69/4(1) = -69/4
Por tanto, el vértice de la parábola es (-7/2, -69/4).
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA