Un sector es una sección de un círculo delimitada por sus dos radios y el arco que los conecta. Un semicírculo, que representa la mitad de un círculo, es el sector más frecuente de un círculo. Un sector de un círculo es una sección en forma de pastel de un círculo formado por el arco y sus dos radios. Un sector se produce cuando una sección de la circunferencia del círculo (también conocida como arco) y dos radios se encuentran en ambos extremos del arco.
En el diagrama anterior, el sector menor es la sección del círculo OAXB, mientras que el sector grande es la porción del círculo OAYB.
Área de un Sector
El área de un sector de un círculo es la cantidad de espacio ocupado dentro de un sector del borde de un círculo. Un sector siempre comienza en el centro del círculo. El semicírculo es igualmente un sector de un círculo; en este caso, un círculo tiene dos sectores del mismo tamaño.
Fórmula
A = (θ/360°) × πr 2
dónde,
θ es el ángulo del sector subtendido por los arcos en el centro (en grados),
r es el radio del círculo.
Si el ángulo subtendido θ está en radianes, el área está dada por A = 1/2 × r 2 × θ.
Derivación
Considere un círculo con centro O y radio r, suponga que OAPB es su sector y θ (en grados) es el ángulo subtendido por los arcos en el centro.
Sabemos que el área de toda la región circular está dada por πr².
Si el ángulo subtendido es de 360°, el área del sector es igual a la del círculo entero, es decir, πr².
Aplicar el método unitario para encontrar el área del sector para cualquier ángulo θ.
Si el ángulo subtendido es de 1°, el área del sector viene dada por, πr²/360°.
Por lo tanto, cuando el ángulo es θ, el área del sector, OAPB = (θ/360°) × πr 2
Esto deriva la fórmula para el área de un sector de un círculo.
Problemas de muestra
Problema 1. Hallar el área del sector de una circunferencia dada de 5 cm de radio si el ángulo de su sector es de 30°.
Solución:
Tenemos, r = 5 y θ = 30°.
Usa la fórmula A = (θ/360°) × πr 2 para encontrar el área.
A = (30/360) × (22/7) × 5 2
= 550/840
= 0,65 cm2
Problema 2. Hallar el área del sector de una circunferencia dada de 9 cm de radio si el ángulo de su sector es de 45°.
Solución:
Tenemos, r = 9 y θ = 45°.
Usa la fórmula A = (θ/360°) × πr 2 para encontrar el área.
A = (45/360) × (22/7) × 9 2
= 1782/56
= 31,82 cm2
Problema 3. Hallar el área del sector de una circunferencia dada de 15 cm de radio si el ángulo de su sector es π/2 radianes.
Solución:
Tenemos, r = 15 y θ = π/2.
Usa la fórmula A = 1/2 × r 2 × θ para encontrar el área.
A = 1/2 × 15 2 × π/2
= 1/2 × 225 × 11/7
= 2475/14
= 176,78 cm2
Problema 4. Encuentra el ángulo subtendido en el centro del círculo si el área de su sector es de 770 cm2 y su radio es de 7 cm.
Solución:
Tenemos, r = 7 y A = 770.
Usa la fórmula A = (θ/360°) × πr 2 para encontrar el valor de θ.
=> 770 = (θ/360) × (22/7) × 7 2
=> 770 = (θ/360) × 154
=> θ/360 = 5
=> θ = 1800°
Problema 5. Hallar el área de un círculo si el área de su sector es de 132 cm2 y el ángulo subtendido en el centro del círculo es de 60°.
Solución:
Tenemos, θ = 60° y A = 132.
Usa la fórmula A = (θ/360°) × πr 2 para encontrar el valor de θ.
=> 132 = (60/360) × (22/7) × r 2
=> 132 = (1/6) × (22/7) × r 2
=> r2 = 252
=> r = 15,87 cm
Ahora, Área del círculo = πr 2
= (22/7) × 15,87 × 15,87
= 5540,85/7
= 791,55 cm2