Un círculo es una figura geométrica cerrada sin lados. Consiste en un centro, y la distancia desde el centro hasta el punto que se encuentra en el círculo se conoce como radio. Se puede dibujar un círculo en un plano 2D. Representa el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es un valor constante. La ecuación de un círculo se puede representar de muchas formas, como forma polar, forma general, forma estándar y forma paramétrica. La ecuación de un círculo se usa para encontrar la posición del círculo. La longitud del círculo y las coordenadas del centro son básicamente necesarias para formar la ecuación de un círculo. Derivamos la ecuación del círculo. Sean las coordenadas del centro (a, b), y (x, y) es un punto arbitrario en la circunferencia del círculo.
Luego, usando la fórmula de distancia,
Ahora elevando al cuadrado ambos lados obtenemos,
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
Por lo tanto la ecuación de la circunferencia viene dada por,
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
Donde (a, b) son las coordenadas del centro y r es el radio.
Fórmula del círculo unitario
Un círculo unitario es un círculo de radio uno. La coordenada del centro es (0, 0). La ecuación del círculo unitario está dada por,
(x – 0)² + (y – 0)²= 1
Un círculo unitario tiene cuatro cuadrantes. Es útil, especialmente en el campo de la trigonometría, ya que podemos calcular las funciones seno, coseno y tangente. Supongamos que se dibuja un triángulo rectángulo dentro del círculo unitario. Sea la coordenada del radio (x, y). La xey son las longitudes de la base y la altura, respectivamente, y la hipotenusa es el radio.
Por lo tanto senθ = Altitud/Hipotenusa = y/1
cosθ = x/1
Por lo tanto sen 2 θ + cos 2 θ = x 2 + y 2 = 1
Un círculo unitario también se puede utilizar en el plano complejo. Se dice que cualquier número complejo z = x + iy se encuentra en un círculo unitario con x² + y² = 1. El círculo unitario tiene una amplia variedad de aplicaciones. Se utilizan para estimar alturas y distancias, se utilizan en trigonometría, ingeniería, trigonometría esférica, etc.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Demuestre que el punto P(1/√3, 2/√3) se encuentra en el círculo unitario
Solución:
Sea x= 1/√3 y = 2/√3
Usando la ecuación del círculo obtenemos x 2 = 1/3
y2 = 2/3
x2 + y2 = 1
Pregunta 2: Demostrar cot 2 x +1 = cosec 2 x usando el círculo unitario
Solución:
Como sabemos x 2 + y 2 =1 ⇢ (i)
cosec x = 1/sen x = 1/y
tan x = y/x
cuna x = 1/bronceado x = x/y
Tomando y 2 común de la ecuación 1
y2 ( 1 + x2 /y2 ) = 1
=> (1 + x 2 /y 2 ) = 1/y 2
Por lo tanto probado
Pregunta 3: Usa el círculo unitario para encontrar x e y cuando el ángulo del triángulo rectángulo es de 45 grados y está inscrito en el círculo unitario.
Solución:
Para 45 grados x e y son iguales
x = y
x2 + y2 = 1
=> 2×2 = 1
x= 1/ √2
Pregunta 4: Demuestra que (1, 0) se encuentra en el círculo unitario.
Solución:
x2 + y2 = 1
1 2 + 0 2 = 1, lo que satisface la ecuación del círculo unitario.
Pregunta 5: Encuentra x si y = 1/2 usando la fórmula del círculo unitario.
Solución:
La fórmula del círculo unitario es x 2 + y 2 =1
x2 + 1/4 = 1
=> x = √3/2
Pregunta 6: ¿Qué punto corresponde al ángulo π/2 en el círculo unitario?
Solución:
x 2 + y 2 = 1 es la ecuación del círculo
y = sen θ
x = cos θ
coseno (π/2) = 0
pecado (π/2) = 1
El punto (0, 1) corresponde a 90°
Pregunta 7: Encuentra y si x = -1 usando la fórmula del círculo unitario.
Solución:
La fórmula del círculo unitario es x 2 + y 2 =1
y 2 + 1 = 1
=> y = 0