Fórmula del coeficiente de correlación lineal

Los coeficientes de correlación se utilizan para medir qué tan fuerte es una relación entre dos variables. Existen diferentes tipos de fórmulas para obtener el coeficiente de correlación, una de las más populares es la correlación de Pearson (también conocida como R de Pearson), que se usa comúnmente para la regresión lineal. El coeficiente de correlación de Pearson se denota con el símbolo “R”. La fórmula del coeficiente de correlación devuelve un valor entre 1 y -1. Aquí,

• 1 indica fuertes relaciones positivas
• -1 indica fuertes relaciones negativas
• Y un resultado de cero indica que no hay ninguna relación

Fórmula del coeficiente de correlación lineal

El coeficiente de correlación lineal se conoce como r de Pearson o coeficiente de correlación de Pearson. Lo cual refleja la dirección y la fuerza de la relación lineal entre las dos variables x e y. Devuelve un valor entre -1 y +1. En este -1 indica una fuerte correlación negativa y +1 indica una fuerte correlación positiva. Si es 0 entonces no hay correlación. Esto también se conoce como correlación cero.

Las «estimaciones brutas» para interpretar las fortalezas de las correlaciones utilizando la Correlación de Pearson:

valor r	estimaciones crudas
+.70 o superior	Una relación positiva muy fuerte.
+.40 a +.69	Fuerte relación positiva
+.30 a +.39	Relación positiva moderada
+.20 a +.29	relación positiva débil
+.01 a +.19	Relación nula o insignificante
0	Sin relación [correlación cero]
-.01 a -.19	Relación nula o insignificante
-.20 a -.29	relación negativa débil
-.30 a -.39	Relación negativa moderada
-.40 a -.69	Fuerte relación negativa
-.70 o superior	La relación negativa muy fuerte

La fórmula utilizada para obtener el coeficiente de correlación lineal de los datos es:

R = n(∑xy) – (∑x)(∑y) / √[n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)²

Explique los tipos de coeficientes de correlación lineal.

El coeficiente de correlación lineal se refleja en la r de Pearson. Entonces, el valor de r puede oscilar entre +1 y -1.

Hay tres tipos de coeficiente de correlación lineal de la siguiente manera:

Los valores positivos indican una Correlación Positiva (0<r1)

Los valores negativos indican una Correlación Negativa (-1r<1)

Un valor de 0 indica que no hay correlación (r=0)

Correlación positiva: en correlación positiva, ambas variables se mueven en la misma dirección. Si uno aumenta el otro también aumenta y si uno disminuye el otro también disminuye. Siempre que la r indica un valor positivo muestra una relación positiva

Correlación negativa: en correlación negativa, ambas variables se mueven en diferentes direcciones. Si uno aumenta el otro disminuye y si uno disminuye el otro aumenta. Siempre que la r indica un valor negativo, muestra una relación negativa

No correlación: cuando no existe asociación estadística entre las variables. Se dice que no tienen correlación. En este caso, su coeficiente de correlación (también conocido como r) es 0.

Problemas de muestra

Problema 1: Calcular el coeficiente de correlación para los siguientes datos:

X = 5, 9, 14, 16

y

Y = 6, 10, 16, 20

Solución:

Las variables dadas son,

X = 12,16 ,4, 8

y

Y = 15, 20, 55, 10

Para encontrar el coeficiente de correlación de las siguientes variables, primero se debe construir una tabla de la siguiente manera, para obtener los valores requeridos en la fórmula, también agregue todos los valores en las columnas para obtener los valores utilizados en la fórmula.

X	Y	XY	X²	Y²
5	6	180	144	225
9	10	320	256	400
14	dieciséis	20	dieciséis	20
dieciséis	20	80	56	100
∑40	∑50	∑600	∑480	∑750

∑xy = 600

∑x = 40

∑y = 50

∑x² = 470

∑y² = 750

norte = 4

Ponga todos los valores en la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson: –

R = n(∑xy) – (∑x)(∑y) / √[n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)² 

R = 4(600) – (40)(50) / √[4(470)-(40)²][4(750)-(50)²]

R = 400 / √[320][500]

R = 400/400

R = 1

Muestra que la relación entre las variables de los datos es una relación positiva muy fuerte.

Problema 2: Encuentra el valor del coeficiente de correlación de la siguiente tabla:

TEMA	EDAD X	NIVEL DE GLUCOSA Y
1	42	98
2	23	68
3	22	73
4	47	79
5	50	88
6	60	82

Solución:

Haz una tabla a partir de los datos dados y agrega tres columnas más de XY, X² e Y² y también suma todos los valores en las columnas para obtener ∑xy, ∑x, ∑y, ∑x² y ∑y² y n =6.

TEMA	EDAD X	GLUCOSA  NIVEL Y	XY	X²	Y²
1	42	98	4116	1764	9604
2	23	68	1564	529	4624
3	22	73	1606	484	5329
4	47	79	3713	2209	6241
5	50	88	4400	2500	7744
6	60	82	4980	3600	6724
∑	244	488	20379	11086	40266

∑xy= 20379

∑x=244

∑y=488

∑x² =11086

∑y² =40266

n = 6.

Ponga todos los valores en la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson: –

R = n(∑xy) – (∑x)(∑y) / √ [n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)² 

R = 6(20379) – (244)(488) / √ [6(11086)-(244)²][6(40266)-(488)² 

R = 3202 / √ [6980][3452]

R = 3202/4972.238

R = 0,6439

Muestra que la relación entre las variables de los datos es una fuerte relación positiva.

Problema 3: Calcular el coeficiente de correlación para los siguientes datos:

X = 21,31,25,40,47,38

y

Y = 70,55,60,78,66,80

Solución:

Las variables dadas son,

X = 21,31,25,40,47,38

y

Y = 70,55,60,78,66,80

Para encontrar el coeficiente de correlación de las siguientes variables, primero se debe construir una tabla de la siguiente manera, para obtener los valores requeridos en la fórmula, también agregue todos los valores en las columnas para obtener los valores utilizados en la fórmula.

X	Y	XY	X²	Y²
21	70	1470	441	4900
31	55	1705	961	3025
25	60	1400	625	3600
40	78	3120	1600	6084
47	66	3102	2209	4356
38	80	3040	1444	6400
∑202	∑409	∑13937	∑7280	∑28265

∑xy= 13937

∑x=202

∑y=409

∑x² =7280

∑y² =28265

norte = 6

Ponga todos los valores en la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson: –

R= n(∑xy) – (∑x)(∑y) / √ [n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)² 

R= 6(13937) – (202)(409) / √ [6(7280)-(202)²][6(28265)-(409)²]

R= 1004 / √[2876][2909]

R=1004 / 2892.452938

R=-0.3471

Se muestra que la relación entre las variables de los datos es una relación positiva moderada.

Problema 4: Calcular el coeficiente de correlación para los siguientes datos:

X= 12, 10, 42, 27,35,56

y

Y = 13, 15, 56, 34,65,26

Solución:

Las variables dadas son,

X= 12, 10, 42, 27,35,56

y

Y = 13, 15, 56, 34,65,26

Para encontrar el coeficiente de correlación de las siguientes variables, primero se debe construir una tabla de la siguiente manera, para obtener los valores requeridos en la fórmula, también agregue todos los valores en las columnas para obtener los valores utilizados en la fórmula.

X	Y	XY	X²	Y²
12	13	156	144	169
10	15	150	100	225
42	56	2353	1764	3136
27	34	918	729	1156
35	sesenta y cinco	2275	1225	4225
56	26	1456	3136	676
∑182	∑209	∑7307	∑7098	∑9587

∑xy= 7307

∑x=182

∑y=209

∑x² =7098

∑y² =9587

norte = 6

Ponga todos los valores en la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson: –

R= n(∑xy) – (∑x)(∑y) / √ [n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)²

R= 6(7307) – (182)(209) / √ [6(7098)-(182)²][6(9587)-(209)²] 

R= 5804 / √[9464][13841]

R= 5804/11445.139

R=0,5071

Muestra que la relación entre las variables de los datos es una fuerte relación positiva.

Problema 5: ¿Hay algún coeficiente de correlación que se haya dado para saber si las variables son positivas o negativas?

0,69

0.42

-0.23

-0.99

Solución:

El coeficiente de correlación dado es el siguiente:

0,64

0.46

-0.29

-0.95

Di si la relación es negativa o positiva.

0,64

La relación entre las variables es una fuerte relación positiva

0.46

La relación entre las variables es una fuerte relación positiva

-0.29

La relación entre las variables es una relación negativa débil.

-0.95

La relación entre las variables es una relación negativa muy fuerte.

Problema 6: Calcular el coeficiente de correlación para los siguientes datos:

x = 10, 13, 15, 17, 19

y

Y = 5,10,15,20,25.

Solución:

Las variables dadas son,

x = 10, 13, 15, 17, 19

y

Y = 5,10,15,20,25.

Para encontrar el coeficiente de correlación de las siguientes variables, primero se debe construir una tabla de la siguiente manera, para obtener los valores requeridos en la fórmula, también agregue todos los valores en las columnas para obtener los valores utilizados en la fórmula.

X	Y	XY	X²	Y²
10	5	50	100	25
13	10	130	169	100
15	15	225	225	225
17	20	340	289	400
19	25	475	361	625
∑74	∑75	∑1103	∑1144	∑1375

∑xy= 1103

∑x=74

∑y=75

∑x² =1144

∑y² =1375

norte = 5

Ponga todos los valores en la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson: –

R= n(∑xy) – (∑x)(∑y) / √ [n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)²

R= 5(1103) – (74)(75) / √ [5(1144)-(74)²][5(1375)-(75)²] 

R= -35 / √[244][1250]

 R= -35/552,26

 R=0,0633

Muestra que la relación entre las variables de los datos es una relación despreciable.

Problema 7: Encuentra el valor del coeficiente de correlación de la siguiente tabla:

TEMA	EDAD X	Peso Y
1	40	99
2	25	79
3	22	69
4	54	89

Solución:

TEMA	EDAD X	Peso Y	XY	X²	Y²
1	40	99	3960	1600	9801
2	25	79	1975	625	6241
3	22	69	1518	484	4761
4	54	89	4806	2916	7921
∑	151	336	12259	5625	28724

∑xy= 12258

∑x=151

∑y=336

∑x² =5625

∑y² 28724

norte = 4

Ponga todos los valores en la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson: –

R= n(∑xy) – (∑x)(∑y) / √ [n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)²

R= 4(12258) – (151)(336) / √ [4(5625)-(151)²][4(28724)-(336)²]

R= -1704 / √ [-301][-2000]

 R=-1704/775.886

R=-2.1961

Muestra que la relación entre las variables de los datos es una relación negativa muy fuerte.