El punto de intersección es el punto donde se encuentran dos líneas o dos curvas. El punto de intersección de dos rectas de dos curvas es un punto. Si dos planos se encuentran, entonces el punto de intersección es una línea. Más precisamente, se define como el punto común de ambas líneas o curvas que satisfacen ambas curvas que pueden derivarse resolviendo la ecuación de las curvas.
Si consideramos dos rectas a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 y a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 el punto de intersección de estas dos rectas viene dado por:
Punto de intersección (x, y) = ((b 1 ×c 2 − b 2 ×c 1 )/(a 1 ×b 2 − a 2 ×b 1 ), (c 1 ×a 2 − c 2 ×a 1 )/(a 1 × b 2 − a 2 × b 1 ))
Punto de intersección
Derivación del punto de intersección de dos rectas:
Ecuaciones dadas:
a1x + b1y + c1 = 0 -> eq-1
a2x + b2y + c2 = 0 -> eq-2
Resolviendo las ecuaciones usando el método de multiplicación cruzada:
x y 1
b1 c1 a1 b1
b2 c2 a2 b2
Al multiplicar en cruz las constantes obtenemos:
x/(b1*c2 – b2* c1) = y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)
Resolviendo para x:
=> x/(b1*c2 – b2* c1) = 1/(a1*b2-a2*b1)
=> x = (b1*c2 – b2* c1)/(a1*b2-a2*b1)
Resolviendo para y:
=> y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)
=> y=(c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1)
Por lo tanto punto de intersección:
(x,y) = ((b 1 ×c 2 − b 2 ×c 1 )/(a 1 ×b 2 − a 2 ×b 1 ), (c 1 ×a 2 − c 2 ×a 1 )/( a 1 × b 2 − a 2 × b 1 ))
Si dos rectas son paralelas, nunca se cortan entre sí:
Condición para que dos rectas a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 sean paralelas
a1/b1 = a2/b2.
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el punto de intersección de la línea 3x + 4y + 5 = 0, 2x + 5y +7 = 0.
Solución:
El punto de intersección de dos rectas viene dado por:
(x, y) = ((b1*c2−b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))
a1 = 3, b1 = 4, c1 = 5
a2 = 2, b2 = 5, c2 = 7
(x,y) = ((28-25)/(15-8), (10-21)/(15-8))
(x,y) = (3/7,-11/7)
Pregunta 2: Encuentra el punto de intersección de la línea 9x + 3y + 3 = 0, 4x + 5y + 6 = 0.
Solución:
El punto de intersección de dos rectas viene dado por:
(x,y) = ((b1*c2−b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))
a1 = 9, b1 = 3, c1 = 3
a2 = 4, b2 = 5, c2 = 6
(x, y) = ((18-15)/(45-15), (54-12)/(45-15))
(x, y) = (1/10, 7/5)
Pregunta 3: Comprueba si las dos rectas son paralelas o no 2x + 4y + 6 = 0, 4x + 8y + 6 = 0
Solución:
Para verificar si las líneas son paralelas o no, debemos verificar a1/b1 = a2/b2
a1 = 2, b1 = 4
a2 = 4, b2 = 8
2/4 = 4/8
1/2 = 1/2
Dado que la condición se cumple, las líneas son paralelas y no pueden intersecarse entre sí.
Pregunta 4: Comprueba si las dos rectas son paralelas o no 3x + 4y + 8 = 0, 4x + 8y + 6 = 0
Solución:
Para verificar si las líneas son paralelas o no, debemos verificar a1/b1 = a2/b2
a1 = 3, b1 = 4
a2 = 4, b2 = 8
3/4 no es igual a 4/8
Como la condición no se cumple, las rectas no son paralelas.
Pregunta 5: Comprueba si el punto (3, 5) es el punto de intersección de las líneas 2x + 3y – 21 = 0, x + 2y – 13 = 0.
Solución:
Un punto para ser un punto de intersección debe satisfacer ambas líneas.
Sustituyendo (x,y) = (3,5) en ambas líneas
Compruebe la ecuación 1: 2*3 + 3*5 – 21 =0 —-> satisfecho
Compruebe la ecuación 2: 3 + 2* 5 -13 =0 —-> satisfecho
Dado que ambas ecuaciones se cumplen, es un punto de intersección de ambas líneas.
Pregunta 6: Comprueba si el punto (2, 5) es el punto de intersección de las líneas x + 3y – 17 = 0, x + y – 13 = 0
Solución:
Un punto para ser un punto de intersección debe satisfacer ambas líneas.
Sustituyendo (x,y) = (2,5) en ambas líneas
Compruebe la ecuación 1: 2+ 3*5 – 17 =0 —-> satisfecho
Compruebe la ecuación 2: 7 -13 = -6 —>no satisfecho
Dado que ambas ecuaciones no se cumplen, no es un punto de intersección de ambas líneas.
Pregunta 7: Encuentra el punto de intersección de las rectas x = -2 y 3x + y + 4 = 0
Solución:
Al sustituir x = -2 en 3x + y + 4 = 0
-6 + y + 4 = 0;
y = 2;
Entonces el punto de intersección es (x,y) = (-2,2)
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Artículo escrito por lokeshpotta20 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA