Un sector esférico es un sólido formado por la rotación de un sector de un círculo a lo largo de un eje que pasa por el centro del círculo pero no tiene puntos dentro del sector. Si el eje de revolución es uno de los lados radiales, el sector resultante es un cono esférico; de lo contrario, es un sector esférico abierto. Una zona y una o dos superficies cónicas rodean un sector esférico. Un sector esférico es aquella parte de la esfera que tiene un vértice en el centro y un límite cónico.
Fórmulas de sectores esféricos
Un sector esférico tiene dos fórmulas principales que están conectadas a su área y volumen.
Fórmula de la superficie total (A)
La suma del área de la zona y las áreas laterales de los conos delimitadores es igual al área de superficie total de un sector esférico.
A = Área de la zona + Área lateral de los conos delimitadores
A = 2πRh + πaR + πbR
A = πR (2h + a + b)
Ahora, para un cono esférico, b = 0. Entonces, el área en ese caso es,
A = πR (2h + a)
Volumen de una fórmula de sector esférico
El volumen de un sector esférico, abierto o cónico, es igual a la tercera parte del producto del área de la zona por el radio de la esfera.
V = (1/3) × Área de zona × radio
V = (1/3) × 2πRh × R
V = 2πR 2h / 3
Problemas de muestra
Problema 1. Encuentra el área total de la superficie de un sector de una esfera si su radio es de 6 cm, el radio del cono delimitador es de 8 cm y la altura es de 10 cm.
Solución:
Tenemos, R = 6, h = 10 y a = 8.
Usando la fórmula que tenemos,
A = πR (2h + a)
= (22/7) (6) (20 + 8)
= (22/7) (6) (28)
= 528 cm2
Problema 2. Encuentra el radio del sector esférico si su superficie total es de 2640 cm2, el radio del cono delimitador es de 9 cm y la altura es de 7 cm.
Solución:
Tenemos, V = 2640, h = 7 y a = 9.
Usando la fórmula que tenemos,
A = πR (2h + a)
=> 2640 = (22/7) (R) (14 + 9)
=> 2640 = (22/7) (R) (23)
=> 18480 = 506R
=> R = 18480/506
=> R = 36,52 cm
Problema 3. Halla el volumen del sector esférico si su radio es de 21 cm y su altura de 18 cm.
Solución:
Tenemos, R = 21 y h = 18.
Usando la fórmula que tenemos,
V = 2πR 2h / 3
= 2 (22/7) (21) (21) (18) (1/3)
= 2 (22) (3) (21) (6)
= 16632 pies cúbicos. cm
Problema 4. Encuentra la altura del sector esférico si su volumen es 660 cu. cm y el radio es de 12 cm.
Solución:
Tenemos, V = 660 y R = 12.
Usando la fórmula que tenemos,
V = 2πR 2h / 3
=> 660 = 2 (22/7) (12) (12) (h) (1/3)
=> 660 = 2112h/7
=> 301.71h = 660
=> alto = 2,18 cm
Problema 5. Encuentra el volumen del sector esférico si su superficie total es de 132 cm2, la altura es de 7 cm y el radio del cono delimitador es de 4 cm.
Solución:
Tenemos, A = 132, h = 7 y a = 4.
Usando la fórmula que tenemos,
A = πR (2h + a)
=> 132 = (22/7) (R) (18)
=> 396R = 924
=> R = 2,33
Entonces, el volumen es,
V = 2πR 2h / 3
= 2 (22/7) (2,33) (2,33) (7) (1/3)
= 238,87/3
= 79,62 pies cúbicos. cm