La probabilidad es la columna vertebral de las matemáticas. Indica cómo es probable que ocurra un evento. Se trata de la justificación numérica de tomar decisiones más probables. A mayor probabilidad, más posibilidades de que ocurra un evento y viceversa. El triángulo de Pascal es un hermoso concepto de probabilidad desarrollado por el famoso matemático Blaise Pascal que se usa para encontrar coeficientes en la expansión de cualquier expresión binomial.
Triángulo pascual
El Triángulo de Pascal es un método para conocer los coeficientes binomiales de los términos de la expresión binomial (x + y) n , donde n puede ser cualquier número entero positivo y x,y son números reales. El Triángulo de Pascal se representa en forma triangular, es una especie de patrón numérico en forma de disposición triangular. Comienza con 1 en la parte superior y con 1 corriendo hacia abajo en los dos lados del triángulo. En el triángulo pascal, cada nuevo número entre dos números y por debajo entonces y su valor es la suma de dos números por encima. Este triángulo se utiliza en diferentes tipos de condiciones de probabilidad. Aquí cada fila representa el coeficiente de expansión de (x + y) n .
Fila cero n = 0, (x + y) 0
Primera fila n = 1 , (x + y) 1
Segunda fila n = 2, (x + y) 2
Tercera fila n = 3, (x + y) 3
Cuarta fila n = 4, (x + y) 4
Aquí la potencia de y en cualquier expansión de (x + y) n representa la columna del Triángulo de Pascal. n representa la fila del triángulo de Pascal. La fila y la columna están indexadas en 0 en el Triángulo de Pascal.
Construcción del Triángulo de Pascal
Es bastante simple hacer un triángulo pascual. Comience desde la fila superior (fila 0) escribiendo solo el número 1. En las filas correspondientes, el nuevo cuadrado en el triángulo pascal será la suma de los cuadrados directamente arriba de este cuadrado y tocándolo. Por ejemplo, encontrar la suma del cuadrado de la fila 4 y la columna 2 es la suma del cuadrado de la fila 3, columna 1 y la fila 3, columna 2. Entonces, el cuadrado de la fila 4, columna 2 tiene un valor de 1 + 2 = 3.
Propiedades del Triángulo de Pascal
- Cada número en el Triángulo de Pascal es la suma de dos números por encima de él.
- Los números seguidos son de naturaleza simétrica.
- Cada número representa un coeficiente binomial.
- Los números en los lados izquierdo y derecho del triángulo siempre son 1.
- La fila n contiene (n+1) números.
Fórmula del triángulo de Pascal
La fórmula del triángulo de Pascal para encontrar los elementos en la n-ésima fila y la k-ésima columna del triángulo es
= {p-1} \elegir {q-1} {p-1} \elegir {q-1}
+
Aquí, 0 ≤ q ≤ p, p es un número no negativo
O la fórmula para encontrar el número en la n-ésima fila y la r-ésima columna está dada por p C q = p!/(p – q)!q!
p C q = p C q-1 + p-1 C q-1
Expansión binomial del triángulo de Pascal
Como ya sabemos que el triángulo de pascal define los coeficientes binomiales de los términos de la expresión binomial (x + y) n , por lo que la expansión de (x + y) n es:
(x + y) norte = un 0 x norte + un 1 x n -1 + ……un n-1 xy n-1 + un norte y norte
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Encuentra el coeficiente del término x 2y en la expansión de (x + y) 3 .
Solución:
Método 1:
Miramos la fila 3ra fila del Triángulo de Pascal porque n es 3 y la 1ra columna del Triángulo de Pascal porque la potencia de y es 1 en el término x 2y . Entonces el coeficiente es 3.
Método 2:
Simplemente aplicamos n C r donde n = 3, r = 1.
Entonces coeficiente de x 2yen la expansión de (x + y) 3 es 3 C 1 = 3
Pregunta 2: Encuentra el coeficiente del término x 2 y 2 en la expansión de (4x + 3y) 4 .
Solución:
Método 1:
Miramos la fila 4ta fila del Triángulo de Pascal porque n es 4 y la 2da columna del Triángulo de Pascal porque la potencia de y es 2 en el término x 2 y 2 . Así que el número en el Triángulo de Pascal es 6.
Pero vemos que el coeficiente de x es 4 y y es 3 ahora que la potencia de x es 2 y y es 2 en el término x 2 y 2 , por lo que el número del triángulo pascal se multiplicará por 4 2 y 3 2 para encontrar el coeficiente.
Coeficiente = 6 x 4 2 x 3 2 = 864
Método 2:
Simplemente aplicamos n C r donde n = 4, r = 2.
Entonces, el número del Triángulo de Pascal del término x 2 y 2 en la expansión de (4x +3y) 4 es 4 C 2 = 6.
Pero vemos que el coeficiente de x es 4 y y es 3 ahora que la potencia de x es 2 y y es 2 en el término x 2 y 2 , por lo que el número del triángulo pascal se multiplicará por 4 2 y 3 2 para encontrar el coeficiente.
Coeficiente = 6 x 4 2 x 3 2 = 864
Pregunta 3: Escribe la 6ª fila del Triángulo de Pascal
Solución:
La sexta fila se puede escribir como: 6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
Pregunta 4: Encuentra el coeficiente del término x 4 en la expansión de (2x + y) 4 .
Solución:
Método 1:
Miramos la fila 4ta fila del Triángulo de Pascal porque n es 4 y la columna 0 del Triángulo de Pascal porque la potencia de y es 0 en el término x 4 . Entonces el número en el Triángulo de Pascal es 1.
Pero vemos que el coeficiente de x es 2 y y es 0 ahora que la potencia de x es 4 y y es 0 en el término x 4 entonces el número del Triángulo de Pascal se multiplicará por 2 4 y 1 0 para encontrar el coeficiente.
Coeficiente = 1 x 2 4 x 1 0 = 16
Método 2:
Simplemente aplicamos n C r donde n = 4, r = 0.
Entonces, el número del Triángulo de Pascal del término x 4 en la expansión de (2x + y) 4 es 4 C 0 = 1.
Pero vemos que el coeficiente de x es 2 y y es 0 ahora que la potencia de x es 4 y y es 0 en el término x 4 entonces el número del Triángulo de Pascal se multiplicará por 2 4 y 1 0 para encontrar el coeficiente.
Coeficiente = 1
Pregunta 5: Encuentra el coeficiente del término xy 2 en la expansión de (2x + y) 3 .
Solución:
Método 1:
Observamos la fila 3.ª fila del Triángulo de Pascal porque n es 3 y la 2.ª columna del Triángulo de Pascal porque la potencia de y es 2 en el término xy 2 . Así que el número en el Triángulo de Pascal es 3.
Pero vemos que el coeficiente de x es 2 y y es 1 ahora que la potencia de x es 2 y y es 1 en el término xy 2 , por lo que el número del Triángulo de Pascal se multiplicará por 2 1 y 1 2 para encontrar el coeficiente.
Coeficiente = 3 x 2 1 x 1 2 = 6
Método 2:
Simplemente aplicamos n C r donde n = 3, r = 2.
Entonces, el número del Triángulo de Pascal del término xy 2 en la expansión de (2x + y) 3 es 3 C 2 = 3.
Pero vemos que el coeficiente de x es 2 y y es 1 ahora que la potencia de x es 2 y y es 1 en el término xy^2, por lo que el número del Triángulo de Pascal se multiplicará por 2 1 y 1 2 para encontrar el coeficiente.
Coeficiente = 3 x 2 1 x 1 2 = 6
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por siddharthkalra2002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA