fórmula hipérbola

El conjunto de todos los puntos de un plano se llama hipérbola. La distancia entre estos dos puntos fijos en el plano permanecerá constante. La distancia a la ubicación distante menos la distancia al punto más cercano es la diferencia. Los focos serán los dos puntos fijos, y el centro de la hipérbola será el punto medio del segmento de línea que conecta los focos. La hipérbola es un tema fascinante en las matemáticas geométricas.

¿Qué es Hipérbola?

Las hipérbolas son similares a las parábolas reflejadas en apariencia. Las ramas son las dos partes del árbol. La hipérbola se genera cuando el plano cruza las mitades de un cono circular recto, cuyo ángulo es paralelo al eje del cono.

Una hipérbola es un conjunto de puntos donde la distancia entre cada foco es siempre mayor que uno. Dicho de otro modo, el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano cuando la distancia entre un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz) es una constante mayor que 1.

Una hipérbola está formada por dos focos y dos vértices. Los focos de la hipérbola se colocan lejos del centro y los vértices. La línea que pasa por los focos se conoce como eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y pasa por el centro. Los vértices son las posiciones donde la hipérbola cruza el eje transversal.

Propiedades de la hipérbola

1. En una hipérbola, la diferencia entre las distancias focales es constante, que es lo mismo que el eje transversal ||PS – PS’|| = 2a.
2. Si e ₁ y e ₂ son las excentricidades de la hipérbola, se aplica la relación e ₁ ^-2 + e ₂ ^-2 = 1.
3. Si las longitudes de los ejes transversal y conjugado son iguales, se dice que la hipérbola es rectangular o equilátera.
4. La excentricidad de una hipérbola rectangular es √2, que es igual a la longitud del lado recto de los ejes.
5. Si el punto (x ₁ , y ₁ ) dentro, sobre o fuera de la hipérbola, el valor de x ₁ ² /a ² – y ₁ 2/ b ² = 1 es positivo, cero o negativo.
6. Dos rectas cortan el centro de la hipérbola. Las tangentes al centro son las asíntotas de la hipérbola.
7. El latus rectum de una hipérbola es una línea que corre perpendicular al eje transversal y cruza a través de cualquiera de los focos paralelos del eje conjugado. 2b ² /a es la respuesta.

Ecuación de hipérbola

La ecuación general de la hipérbola es:

(x−x ₀ ) ² /a ² − (y−y ₀ ) ² /b ² = 1

donde, a es el semieje mayor yb es el semieje menor, x ₀ y y ₀ son los puntos centrales, respectivamente.

• La distancia entre los dos focos sería siempre 2c.
• La distancia entre dos vértices siempre sería 2a. También puede ser la longitud del eje transversal.
• El eje conjugado tendrá una longitud de 2b, aquí b = √(c ² –a ² )

Fórmula de excentricidad hiperbólica: La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que 1, es decir, e > 1. La relación entre la distancia del punto de la hipérbole al foco y su distancia a la directriz es la excentricidad de una hipérbola.

Excentricidad = Distancia desde el Foco/Distancia desde Directrix 

o

e = c/a

Obtenemos el siguiente valor de excentricidad sustituyendo el valor de c.

e =√(1+b ² /a ² )

Ecuación del Eje Mayor: El Eje Mayor es la línea que pasa por el centro, el foco de la hipérbola y los vértices. 2a se considera la longitud del eje mayor. La fórmula es la siguiente: 

y = y ₀

Ecuación del eje menor: el eje menor es una línea que corre ortogonal al eje mayor y viaja por el medio de la hipérbola. 2b es la longitud del eje menor. La siguiente es la ecuación:

x = x ₀

Asíntotas: Las Asíntotas son dos rectas bisectantes que pasan por el centro de la hipérbola pero no tocan la curva. La siguiente es la ecuación:

y = y ₀ + (b/a)x – (b/a)x ₀

y = y ₀ – (b/a)x + (b/a)x ₀

Directriz de una hipérbola: La directriz de una hipérbola es una línea recta que se utiliza para generar una curva. También se conoce como la línea a partir de la cual se curva la hipérbola. El eje de simetría es perpendicular a esta línea. La ecuación de la directriz es:

x = ±a ² /√(a ² + b ² )

Vértice: El vértice es el punto de una rama estirada que está más cerca del centro. Estos son los puntos de vértice.

[a, y0 _] ; [-a, _y0 ]

Foco (foci): Foco (foci) son las ubicaciones fijas en una hipérbola donde la diferencia entre las distancias es siempre constante.

(x ₀ + √ (a ² + b ² ), y ₀ )

(x ₀ – √(a ² + b ² ), y ₀ )

Hipérbola conjugada: dos hipérbolas cuyos ejes transversal y conjugado son los ejes conjugado y transversal del otro se denominan hipérbolas conjugadas entre sí.

(x ² / a ² ) – (y ² /b ² ) = 1 y   (−x ² / a ² ) + (y ² / b ² ) = 1 

son hipérbolas conjugadas entre sí. Por lo tanto:

(y2 ^/ b2 ⁾ – (x2 ^/ a2 ⁾ = 1

un ² = segundo ² (mi ² − 1)

mi = √( 1+ un ² /b ² )

Ejemplos de preguntas 

Pregunta 1: Encuentra la excentricidad de la hipérbola que tiene la ecuación x ² /36 – y ² /49 = 1.

Responder: 

La ecuación dada es x ² /36 – y ² /49 = 1.

Comparando con la ecuación de la hipérbola x ² /a ² – y ² /b ² = 1

Donde a ² = 36 y b ² = 49

Como sabemos fórmula para la excentricidad,

mi = √( 1+ segundo ² /a ² )

= √( 1 + 49/ 36 )

= √( 36+49/36 )

= √(85/36)

= √85/√36

= 9.21/6

= 1,53

Por lo tanto, obtuvimos la excentricidad para x ² /36 – y ² /49 = 1 es 1,53.

Pregunta 2: Encuentra la excentricidad de la hipérbola que tiene la ecuación x ² /27 – y ² /25 = 1.

Responder:

La ecuación dada es x ² /27 – y ² /25 = 1

Comparando con la ecuación de la hipérbola x ² /a ² – y ² /b ² = 1

Donde a ² = 27 y b ² = 25

Como sabemos fórmula para la excentricidad,

mi = √( 1+ segundo ² /a ² )

= √( 1 + 25/ 27 )

= √( 27+25/27 )

= √(52/27)

= √52/√27

= 7,21/5,19

= 1,38

Por lo tanto, obtuvimos la excentricidad para x ² /36 – y ² /49 = 1 es 1,38.

Pregunta 3: Una hipérbola tiene una excentricidad de 1,3 y el valor de a es 20. Encuentra la ecuación de la hipérbola.

Responder:

Dado que la excentricidad es 1,38 y el valor de a es 20

Como conocemos la fórmula de la excentricidad,

mi = √( 1+ segundo ² /a ² )

después

1.3 = √(1+b ² /20 ² )

13/10 = √( 400 + segundo ² / 400 )

(13/10) ² = ( 400 +b ² /400 )

169/100 = ( 400 +b ² /400 )

b2 = ²⁷⁶

Comparando con la ecuación de la hipérbola x ² /a ² – y ² /b ² = 1

después,

x2 /400 – y2 ^{/ 276} = 1

Pregunta 4: Indique ¿qué es una hipérbola?

Responder:

El lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano donde la razón de su distancia desde un punto fijo a la de una línea fija es una constante mayor que uno se llama hipérbola.

Pregunta 5: ¿Cuál es la directriz de la hipérbola y su fórmula?

Responder: 

La directriz de una hipérbola es una línea recta que se utiliza para generar una curva. También se conoce como la línea a partir de la cual se curva la hipérbola. El eje de simetría es perpendicular a esta línea. La ecuación de la directriz es:

x = ±a ² /√(a ² + b ² )

Pregunta 6: ¿Cuál es la fórmula de la hipérbola conjugada?

Responder:

Dos hipérbolas cuyos ejes transversal y conjugado son los ejes conjugado y transversal del otro se denominan hipérbolas conjugadas entre sí.

mi = √( 1+ un ² /b ² )