Fórmula Sin Theta

El término trigonometría se deriva de las palabras griegas, es decir; trigonon y metron, lo que implica triángulo y para medir respectivamente, θ. Hay 6 relaciones trigonométricas, a saber, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas razones trigonométricas indican las diferentes combinaciones en un triángulo rectángulo. 

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son razones de las longitudes del triángulo rectángulo. Estas proporciones se pueden usar para determinar las proporciones de dos lados de un total de tres lados de un triángulo rectángulo.

• Función del seno: La relación del seno para el ángulo dado θ en un triángulo rectángulo se define como la relación de las longitudes de su lado opuesto a su hipotenusa.

es decir, Sinθ = AB/AC

• Función coseno: La razón del coseno para el ángulo dado θ en un triángulo rectángulo se define como la razón de las longitudes de su lado adyacente a su hipotenusa.

es decir, Cosθ = BC/AC

• Función tangente: La razón de tangente para el ángulo dado θ en un triángulo rectángulo se define como la razón de las longitudes de su lado opuesto a su adyacente.

es decir, Tanθ = AB/BC

• Función cotangente: La relación cotangente para el ángulo dado θ en un triángulo rectángulo se define como la relación entre las longitudes de su lado adyacente y su opuesto. Es el recíproco de la proporción de bronceado.

es decir, Cotθ = BC/AB =1/Tanθ

• Función secante: la relación secante para el ángulo dado θ en un triángulo rectángulo se define como la relación entre las longitudes de su lado hipotenusa y su lado adyacente.

es decir, Secθ = AC/BC

• Función cosecante: La razón de la cosecante para el ángulo dado θ en un triángulo rectángulo se define como la razón de las longitudes de su lado hipotenusa a su opuesto.

es decir, Cosecθ = AC/AB

Fórmula Sin Theta

En un triángulo rectángulo, la función seno o seno theta se define como la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa del triángulo. En un triángulo, la regla del seno ayuda a relacionar los lados y ángulos del triángulo con su circunradio (R), es decir, a/SinA = b/SinB = c/SinC = 2R. Donde a, b y c son longitudes del triángulo, y A, B, C son ángulos y R es circunradio.  

Sin θ = (lado opuesto / hipotenusa)

De la figura anterior, el seno θ se puede escribir como 

Sinθ = AB / AC

Según el teorema de Pitágoras, sabemos que AB ² + BC ² = AC ² . Al dividir ambos lados por AC ²

⇒ (AB/AC) ² + (BC/AC) ²

⇒ Seno ² θ + Cos ² θ = 1

Problemas de muestra

Pregunta 1: Si los lados del triángulo rectángulo △ABC que forma un ángulo recto en B son 7, 25 y 24 respectivamente. Luego encuentre el valor de SinC?

Solución:

 

Como sabemos que Sinθ = (Lado opuesto/hipotenusa) 

SinC = 24/25

Pregunta 2: Si dos lados de un triángulo rectángulo son 3 y 5, ¿encontrar el seno del ángulo más pequeño del triángulo?

Solución:

Por el teorema de Pitágoras, se encuentra que el otro lado del triángulo es 4.

Como el lado menor se encuentra opuesto al ángulo menor, 

Entonces el seno del ángulo menor es igual a 3/5.

Pregunta 3: Si senA = 12/13 en el triángulo △ABC, ¿entonces encuentra las longitudes mínimas posibles de los lados del triángulo?

Solución:

Como sabemos, Sinθ = opuesto/hipotenusa

Aquí, lado opuesto = 12 e hipotenusa = 13

Entonces, por el teorema de Pitágoras, el otro lado del triángulo mide 5 unidades

Pregunta 4: si las longitudes de los lados de un △PQR de ángulo recto están en AP, ¿entonces encuentra los valores de los senos de los ángulos más pequeños?

Solución: 

El único triplete pitagórico posible para la condición dada es (3, 4, 5).

Por lo tanto, los valores del seno de los lados menores son 3/5 y 4/5

Pregunta 5: En un triángulo △XYZ si CosX=1/2 entonces encuentra el valor de SinY?

Solución:

De los datos dados, el ángulo X es igual a 60 grados, luego Y = 30 grados ya que es un triángulo rectángulo.

Por lo tanto, SinY = Sin30°

Y = 1/2

Pregunta 6: Si senθ.Secθ = 1/5, ¿encontrar el valor de Sinθ?

Solución:

Como secθ = 1/cosθ 

Secθ = Tanθ = 1/5.

Por lo tanto, el lado opuesto = k y el lado adyacente es 5k y la hipotenusa = √26 k.

Entonces Sinθ = k/√26 k

= 1/√26

Pregunta 7: En un triángulo rectángulo, si la razón de los ángulos más pequeños es 1:2, ¿encontrar la suma de los senos de los ángulos más pequeños del triángulo?

Solución:

Sean los ángulos menores A, B. Como A:B = 1:2.

Entonces, A = k y B = 2k. Como A + B = 90. 

⇒k + 2k = 90

⇒ k = 30.

Por lo tanto, los otros ángulos son 30 y 60

Entonces, sus valores de seno son 1/2 y √3/2

Por tanto, la suma de los senos es (1 + √3)/2