Fórmulas de cofunción

Una cofunción trigonométrica se define como la expresión de una relación de ángulo trigonométrico en términos del otro. Ilustra cómo seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante se relacionan entre sí. La cofunción del complemento de un ángulo es igual a la función trigonométrica de ese ángulo. Por ejemplo, el seno de un ángulo x es igual al coseno del complemento del mismo ángulo. De manera similar, también podemos escribir las fórmulas de cofunción para otras razones. 

regla ASTC

El concepto de fórmulas de cofunción se basa en la tabla de cuadrantes trigonométricos. Sigue la regla ASTC, que significa la regla «todo sin costo tan». Indica qué razones trigonométricas son positivas en cualquier cuadrante dado. Explica además que todas las razones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante, solo las razones del seno y la cosecante son positivas en el segundo cuadrante, la tangente y la cotangente son positivas en el tercer cuadrante, mientras que la cosecante y la secante son positivas en el cuarto cuadrante. El primer cuadrante tiene ángulos de 0° a 90°; el segundo cuadrante tiene de 90° a 180°, el tercer cuadrante tiene de 180° a 270° y el cuarto cuadrante tiene de 270° a 360°.

Fórmulas de cofunción

Las fórmulas de cofunción están definidas para los ángulos -x, (90° – x), (90° + x), (180° – x), (180° + x), (270° – x), (270° + x), (360° – x). Todas las razones trigonométricas se evalúan para estos ángulos sustituyendo el ángulo x por estos. El punto importante aquí es que para un ángulo x sumado/restado por 90° o sus múltiplos, la razón trigonométrica es igual al positivo o negativo de su razón de complemento. Por ejemplo, el seno de un ángulo (90° + x) es cos x. Mientras que para un ángulo x sumado/restado por 180° o sus múltiplos, la razón trigonométrica es igual a positiva o negativa por sí misma. Por ejemplo, el seno de un ángulo (180° + x) es – sen x. Las fórmulas de cofunción se dan a continuación en forma de tabla: 

proporciones	-X	90° – x	90° + x	180°-x	180° + x	270°-x	270° + x	360°-x
pecado	-pecado x	porque x	porque x	pecado x	-pecado x	-porque x	-porque x	-pecado x
porque	porque x	pecado x	-pecado x	-porque x	-porque x	-pecado x	pecado x	porque x
broncearse	-bronceado x	cuna x	-cuna x	-bronceado x	bronceado x	cuna x	-cuna x	-bronceado x
cosec	-coseg x	segundo x	segundo x	cosec x	-coseg x	-seg x	-seg x	-coseg x
segundo	segundo x	cosec x	-coseg x	-seg x	-seg x	-coseg x	porque x	segundo x
cuna	-cuna x	bronceado x	-bronceado x	-cuna x	cuna x	bronceado x	-bronceado x	-cuna x

Derivación

Las fórmulas de cofunción se pueden derivar usando las fórmulas de suma y diferencia para varias razones.

Considere la prueba de sen (90° – x) = cos x.

Sabemos, sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B.

Aquí, A = 90° y B = x. Entonces, la fórmula se convierte en,

sen (90° – x) = sen 90° cos x – cos 90° sen x

= 1 (cos x) – 0 (sen x)

= cos x – 0

= cos x

Ahora, considera la prueba de cos (90° – x) = sen x.

Sabemos, cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B.

Aquí, A = 90° y B = x. Entonces, la fórmula se convierte en,

cos (90° – x) = cos 90° cos x + sen 90° sen x

= 0 (cos x) + 1 (sen x)

= 0 + sen x

= sen x

Esto deriva las fórmulas de cofunción para las proporciones de seno y coseno. De manera similar, también podemos derivar las identidades de cofunción para otras razones.

Problemas de muestra

Problema 1: Calcular el valor de sen 25° cos 75° + sen 75° cos 25°.

Solución:

Sabemos,

sen 25° = coseno (90° – 25°) = coseno 75°

cos 25° = sen (90° – 25°) = sen 75°

Entonces, la expresión dada se convierte en,

sen 25° cos 75° + sen 75° cos 25° = cos 75° cos 75° + sen 75° sen 75°

= cos ² 75° + sen ² 75°

= 1

Problema 2: Calcular el valor de sen 35° cos 65° + sen 65° cos 35°.

Solución:

Sabemos,

sen 35° = coseno (90° – 35°) = coseno 65°

cos 35° = sen (90° – 35°) = sen 65°

Entonces, la expresión dada se convierte en,

sen 35° cos 65° + sen 65° cos 35° = cos 65° cos 65° + sen 65° sen 65°

= cos ² 65° + sen ² 65°

= 1

Problema 3: Calcular el valor de sec 20° cosec 70° – tan 20° cot 70°.

Solución:

cosec 70° = seg (90° – 70°) = seg 20°

cuna 70° = bronceado (90° – 70°) = bronceado 20°

Entonces, la expresión dada se convierte en,

seg 20° cosec 70° – tan 20° cot 70° = seg 20° seg 20° – tan 20° tan 20°

= seg ² 20° – tan ² 20°

= 1

Problema 4: Calcular el valor de cosec 40° sec 50° – cot 40° tan 50°.

Solución:

seg 50° = cosec (90° – 50°) = cosec 40°

bronceado 50° = cuna (90° – 50°) = cuna 40°

Entonces, la expresión dada se convierte en,

cosec 40° seg 50° – cot 40° tan 50° = cosec 40° cosec 40° – cot 40° cot 40°

= cosec ² 40° – cot ² 40°

= 1

Problema 5: Calcular el valor de tan 1° tan 2° tan 3°… tan 89°.

Solución:

Tenemos,

A = bronceado 1° bronceado 2° bronceado 3°……. bronceado 89°

= bronceado 1° bronceado 2° bronceado 3°……. bronceado 87° bronceado 88° bronceado 89°

= tan 1° tan 2° tan 3°….. tan 45° ….. tan 87° tan 88° tan 89°

= tan 1° tan 2° tan 3°….. tan 45° ….. cot 3° cot 2° cot 1°

= bronceado 1° bronceado 2° bronceado 3°….. bronceado 45° ….. (1/bronceado 3°) (1/bronceado 2°) (1/bronceado 1°)

= bronceado 45°

= 1

Problema 6: Calcular el valor de cot 23° cot 41° cot 60° cot 67° cot 49°.

Solución:

cuna 23° = bronceado (90 – 23) = bronceado 67°

cuna 41° = bronceado (90 – 41) = bronceado 49°

Entonces, la expresión dada se convierte en,

cuna 23° cuna 41° cuna 60° cuna 67° cuna 49° = bronceado 67° bronceado 49° cuna 60° cuna 67° cuna 49°

= bronceado 67° bronceado 49° cuna 60° (1/bronceado 67°) (1/bronceado 49°)

= cuna 60°

= 1/√3

Problema 7: Calcular el valor de x para la ecuación, sen 2x = cos (x – 30°).

Solución:

Tenemos,

sen 2x = coseno (x – 30°)

Usando la identidad cos x = sin (90° – x) obtenemos,

sen 2x = sen (90° – (x – 30°))

sen 2x = sen (90° – x + 30°)

sen 2x = sen (120° – x)

=> 2x = 120° – x

=> 3x = 120°

=> x = 40°