La esfera es un objeto 3D redondo. A diferencia de otras formas 3D, la esfera no tiene vértices ni bordes. La distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de la superficie es la misma. En geometría, una esfera es una figura tridimensional con forma redonda. Desde un punto de vista matemático, es una combinación de un conjunto de puntos conectados por puntos comunes equidistantes en tres dimensiones. Los ejemplos de esferas incluyen baloncesto, pompas de jabón y pelotas de tenis.
Fórmulas de esfera
Hay tres fórmulas principales para una esfera, incluidas fórmulas para el diámetro de la esfera, el área de la superficie de la esfera y el volumen de la esfera. Todas estas fórmulas se enumeran en la siguiente tabla.
Diámetro de la esfera D=2r superficie de la esfera A=4πr 2 volumen de esfera (4/3)πr 3
¿Cuál es el área superficial de una esfera?
El área cubierta por la superficie exterior de la esfera se llama área superficial de la esfera. Una esfera es una forma tridimensional de un círculo. La principal diferencia entre una esfera y un círculo es que un círculo tiene una forma bidimensional (2D), mientras que una esfera tiene una forma tridimensional.
Derivación del área de superficie de la esfera
Debido a que una esfera es redonda, la asociamos con una forma curva, como un cilindro, para encontrar el área de la superficie. Un cilindro tiene una superficie curva y una superficie plana. Ahora bien, si el radio del cilindro es igual al radio de la esfera, implica que la esfera puede encajar perfectamente en el cilindro. Esto nos lleva a la conclusión de que la altura del cilindro es igual a la altura de la esfera. Entonces esta altura se puede llamar el diámetro de la esfera.
Sabemos que si el radio del cilindro y la esfera es el mismo entonces
Área de superficie de la esfera = Área de superficie lateral del cilindro (probado por Arquímedes)
Ahora el área de la superficie lateral de un cilindro = 2πrh
y la altura del cilindro también se puede llamar el diámetro de la esfera porque asumimos que esta esfera encaja perfectamente en el cilindro.
Por tanto, la altura del cilindro = diámetro de la esfera = 2r.
Entonces, el área de la superficie de la esfera es 2πrh = 2πr(2r) = 4πr 2 (porque h=2r)
Además, el área de la superficie curva de la esfera es igual a 4πr 2 ya que no hay una superficie plana en una esfera.
Ejemplo : si el radio de una esfera es de 14 cm, entonces encuentre su área de superficie. (puede usar π = 3.14 para su conveniencia).
Solución:
Se da que el Radio de la esfera es de 14cm.
Ahora, el área de la superficie de la esfera = 4πr 2 = 4 * π *(14) 2 = 24 cm 2
¿Cuál es el volumen de la esfera?
El volumen de una esfera es el espacio ocupado por el interior de la esfera. Dibuja un semicírculo en una hoja de papel y gíralo 360 grados para formar una esfera. Hay dos tipos de esferas que son esferas sólidas y esferas huecas. Los volúmenes de los dos tipos de esferas son diferentes. En la siguiente sección, aprenderemos sobre los volúmenes.
Derivación del volumen de la esfera
Como ya demostró Arquímedes, si un cilindro, cono o esfera tiene un radio “r” y la misma área transversal, entonces sus volúmenes están relacionados 1:2:3.
Por lo tanto podemos decir que
Volumen del Cilindro = Volumen del Cono + Volumen de la Esfera
El volumen de la Esfera = Volumen del Cilindro – Volumen del Cono
Ahora por el conocimiento previo debemos saber que volumen del cilindro = πr 2 h y volumen del cono = (1/3)πr 2 h
poniendo los valores en la expresión anterior, obtenemos
Volumen de la esfera = πr 2 h – (1/3)πr 2 h = (2/3)πr 2 h
asumimos que altura del cilindro = diámetro de la esfera = 2r
Por lo tanto, el volumen de la esfera es (2/3)πr 2 h = (2/3)πr 2 (2r) = (4/3)πr 3
Además, si tenemos una esfera hueca entonces
Sea R = radio de la esfera exterior, r = radio de la esfera interior, entonces
El volumen de la esfera hueca = Volumen de la esfera exterior – Volumen de la esfera interior
⇒ Volumen de la esfera hueca = (4/3)πR 3 – (4/3)πr 3 = (4/3)π(R 3 – r 3 )
Ejemplo 1: Encuentra el volumen de la esfera que tiene un radio de 6 cm.
Solución :
Se sabe que el radio de la esfera es de 6 cm.
Ahora, Volumen de esfera = (4/3)πr 3 = ((4/3) × π × (6cm) 3 ) = 904.779 cm 3
Ejemplo 2: Encuentra el volumen de una esfera cuyo radio interior es de 5 cm y el radio exterior es de 8 cm.
Solución :
Radio exterior de la esfera R = 8 cm.
y Radio interior de la esfera r = 5 cm.
Ahora, Volumen de la esfera hueca = (4/3)π(R 3 – r 3 ) = (4/3)π((8cm) 3 – (5cm) 3 ) = 1621.062 cm 3 .
Hemisferio
El hemisferio es la mitad de la esfera. En otras palabras, si una esfera se corta en dos piezas simétricas a través del centro, entonces se llama hemisferio. Como es la mitad de una esfera, el volumen y el área de superficie son la mitad del volumen y el área de superficie de una esfera.
Volumen del hemisferio = (1/2)(4/3)πr 3
Superficie de la Esfera = (1/2)(4πr 2 )
Hemisferio
Propiedades de la esfera
Las siguientes son las propiedades de una esfera:
- No tiene vértice ni arista.
- Esto no es un poliedro.
- Todos los puntos de la esfera tienen la misma distancia al centro.
- Tiene una cara curva, no una cara plana.
- Es perfectamente simétrico.
Comparación entre círculo y esfera
| Circulo | Esfera |
| Un círculo existe en una forma bidimensional. | Una esfera es una forma tridimensional. |
| Un círculo solo puede extenderse en dos direcciones, que son el eje x y el eje y. | Se extiende en las tres direcciones, que son el eje x, el eje y y el eje z. |
| No tiene ningún volumen. | Tiene volumen porque ocupa algo de espacio. |
| El área de un círculo es πr 2 unidades cuadradas. | El área de superficie de una esfera es 4πr 2 unidades cuadradas. |
Ejemplos de preguntas
Pregunta 1: Una pelota de béisbol tiene 80 mm de diámetro. Halla el volumen de la pelota de béisbol. (π=3.14)
Solución:
nos dan que Diámetro D = 2r
profundidad = 80 mm.
r = 40 mm
Ahora, Volumen de esfera = (4/3)πr 3 = (4/3)π(40mm) 3 = 268082.573 mm 3
Pregunta 2: Las esferas huecas se funden en la misma pequeña esfera hueca. Los radios interior y exterior de la esfera más grande son 5 cm y 7 cm, respectivamente. Si los radios interior y exterior de las esferas pequeñas son de 3 cm y 4 cm, respectivamente, ¿cuántas esferas pequeñas se pueden formar? (π=3.14)
Solución:
Sabemos que Volumen de la esfera = (4/3)πr 3
Ahora, Volumen de la esfera más grande = volumen de la esfera con radio exterior – volumen de la esfera con radio interior
⇒ Volumen de la esfera mayor = (4/3) * π * (7cm) 3 – (4/3)π(5cm) 3
⇒ Volumen de la esfera mayor = (4/3) * π * (343-125) = (4/3) * π * (218) cm 3
De la misma manera, Volumen de la esfera menor = (4/3) * π * (4cm) 3 – (4/3) * π * (3cm) 3
⇒ Volumen de la esfera menor = (4/3) * π *(64-27) = (4/3) * π * (37) cm 3
por lo tanto, el número de esferas que se pueden formar = volumen de la esfera más grande/volumen de la esfera más pequeña
por tanto, el número de esferas que se pueden formar = (4/3) * π * (218) cm 3 / (4/3) * π * (37) cm 3
⇒ el número de esferas que se pueden formar = 5,92 ≈ 6 esferas.
Pregunta 3: Cuando cambias la forma de un objeto de una esfera a un cilindro, entonces el volumen del cilindro aumenta, disminuye o permanece sin cambios. (π=3.14)
Solución:
El volumen es una cantidad escalar que describe el volumen del espacio 3D rodeado de superficies cercanas.
Al transformar un cuerpo en otro cuerpo, la cantidad de material permanece igual, por lo que el volumen del cuerpo no cambia.
Por lo tanto, el volumen permanece sin cambios .
Pregunta 4: La superficie de la esfera es de 500 cm 2 . Si cambias el radio para reducir el área en un 50%, encuentra el radio. (π=3.14)
Solución:
Dado que el área se reduce en un 50%, podemos decir que
Superficie nueva = 50% de la superficie original
⇒ 4πr2 = 1/2 * 500
⇒ r 2 = ( 1/2 * 500 ) / 4π
⇒r2 = 250 /12,56
⇒ r2 = 19,8945
⇒ r = 4,46 cm