En matemáticas, la permutación se conecta con el proceso de reunir a todos los socios de una fiesta en alguna secuencia o formato. En otras frases, si la fiesta ya está ejecutada, entonces la redirección de sus miembros se denomina proceso de permutación. Las permutaciones tienen lugar, de formas más o menos significativas, en casi todas las comunidades de las matemáticas. A menudo ocurren cuando se observa una gestión distinta en áreas limitadas específicas.
Permutación
Son las distintas interpretaciones de un número proporcionado de componentes llevados uno por uno, o algunos, o todos a la vez. Por ejemplo, si tenemos dos componentes A y B, entonces hay dos actuaciones probables, AB y BA.
Un número de permutaciones cuando los componentes ‘r’ se colocan fuera de un total de ‘n’ componentes es n P r = n. / (n – r)! . Por ejemplo, sea n = 3 (A, B y C) y r = 2 (Todas las permutaciones de tamaño 2). ¡La respuesta es 3!/(3 – 2)! = 6. Las seis permutaciones son AB, AC, BA, BC, CA y CB.
Explicación de la fórmula de permutación
Una permutación es un tipo de actuación que indica cómo permutar. Si hay tres numerales diferentes 1, 2 y 3 y si alguien tiene curiosidad por permutar los numerales tomando 2 a la vez, muestra (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3 ), (3, 1) y (3, 2). Es decir, se puede lograr en 6 métodos.
Aquí, (1, 2) y (2, 1) son distintos. Nuevamente, si estos 3 números se manejan todos a la vez, entonces las interpretaciones serán (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1 ), (3, 1, 2) y (3, 2, 1) es decir, de 6 maneras.
En general, se pueden establecer n cosas distintas tomando r (r < n) a la vez de n(n – 1)(n – 2)…(n – r + 1) maneras. De hecho, la primera cosa puede ser cualquiera de las n cosas. Ahora, después de elegir la primera cosa, la segunda cosa será cualquiera de las n – 1 cosas restantes. Asimismo, la tercera cosa puede ser cualquiera de las n – 2 cosas restantes. Del mismo modo, la cosa r -ésima puede ser cualquiera de las n – (r – 1) restantes.
Por lo tanto, el número total de permutaciones de n cosas distintas que llevan r a la vez es n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] que se escribe como n P r . O, en otras palabras,
n P r = n!/(n – r)!
Combinación
Son las distintas secciones de un número compartido de componentes llevados uno por uno, o algunos, o todos a la vez. Por ejemplo, si hay dos componentes A y B, entonces solo hay una forma de seleccionar dos cosas, seleccionar ambas.
El número de combinaciones cuando se eligen los componentes ‘r’ de un total de ‘n’ componentes es, n C r = n! / [(r!) x (n – r)! ]. Por ejemplo, sea n = 3 (A, B y C) y r = 2 (Todas las combinaciones de tamaño 2). La respuesta es 3!/((3 – 2)! × 2!) = 3. Las seis combinaciones son AB, AC y BC.
norte C r = norte C ( n – r)
Nota: En el mismo ejemplo, tenemos distintos puntos para permutación y combinación. Porque AB y BA son dos elementos distintos, pero para seleccionar, AB y BA son lo mismo.
Explicación de la fórmula de combinación
La combinación, por otro lado, es un tipo de paquete. Nuevamente, de esos tres números 1, 2 y 3, si los conjuntos se crean con dos números, entonces las combinaciones son (1, 2), (1, 3) y (2, 3).
Aquí, (1, 2) y (2, 1) son idénticos, a diferencia de las permutaciones donde son distintos. Esto se escribe como 3 C 2 . En general, el número de combinaciones de n cosas distintas tomadas r a la vez es,
norte C r = norte ! /[r! × (n – r)!] = n P r /r!
Problemas de muestra
Pregunta 1: Encuentra el número de permutaciones y combinaciones de n = 9 y r = 3 .
Solución:
Dado,
norte = 9
r = 3
Usando la fórmula dada arriba:
Permutación:
n P r = (n!) / (n – r)!
= (¡9!) / (9 – 3)!
= 9! / 6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!
= 504
Combinación:
norte C r = n!/r!(n − r)!
= 9!/3!(9 − 3)!
= 9!/3!(6)!
= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!
= 84
Pregunta 2: ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité compuesto por 4 hombres y 2 mujeres entre 6 hombres y 5 mujeres?
Solución:
Elija 4 hombres de 6 hombres = 6 C 4 formas = 15 formas
Elija 2 mujeres de 5 mujeres = 5 C 2 formas = 10 formas
El comité se puede elegir de 6 C 4 × 5 C 2 = 150 formas.
Pregunta 3: ¿Cuántas palabras se pueden crear usando 2 letras del término «AMOR»?
Solución:
El término «AMOR» tiene 4 letras distintas.
Por lo tanto, número requerido de palabras = 4 P 2 = 4! / (4 – 2)!
Número requerido de palabras = 4! / 2! = 24 / 2 = 12
Pregunta 4: De 5 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas palabras de 3 consonantes y 2 vocales se pueden formar?
Solución:
Número de formas de elegir 3 consonantes de 5.
= 5 C 3
Número de formas de elegir 2 vocales de 3.
= 3 C 2
Número de formas de elegir 3 consonantes de 2 y 2 vocales de 3.
= 5 C 3 × 3 C 2
= 10 × 3
= 30
Significa que podemos tener 30 grupos donde cada grupo contiene un total de 5 letras (3 consonantes y 2 vocales).
Número de formas de organizar 5 letras entre sí
= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Por lo tanto, el número requerido de formas
= 30 × 120
= 3600
Pregunta 5: ¿Cuántas combinaciones diferentes obtienes si tienes 5 artículos y eliges 4?
Solución:
Inserta los números dados en la ecuación de combinaciones y resuelve. “n” es el número de elementos que hay en el conjunto (5 en este ejemplo); «r» es la cantidad de elementos que está eligiendo (4 en este ejemplo):
C(n, r) = n! / r! (n – r)!
= 5! / 4! (5 – 4)!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)
= 120/24
= 5
La solución es 5.
Pregunta 6: De 6 consonantes y 3 vocales, ¿cuántas expresiones de 2 consonantes y 1 vocal se pueden crear?
Solución:
Número de formas de seleccionar 2 consonantes de 6.
= 6 C 2
Número de formas de seleccionar 1 vocal de 3.
= 3 C 1
Número de formas de seleccionar 3 consonantes de 7 y 2 vocales de 4.
= 6 C 2 × 3 C 1
= 15 × 3
= 45
Significa que podemos tener 45 grupos donde cada grupo contiene un total de 3 letras (2 consonantes y 1 vocal).
Número de formas de disponer 3 letras entre sí.
= 3! = 3 × 2 × 1
= 6
Por lo tanto, el número requerido de formas.
= 45 × 6
= 270
Pregunta 7: ¿En cuántas formas distintas se pueden organizar las letras del término ‘TELÉFONO’ de modo que las vocales se junten consistentemente?
Solución:
La palabra ‘TELÉFONO’ tiene 5 letras. Tiene las vocales ‘O’, ‘E’, y estas 2 vocales deben ir juntas de manera consistente. Por lo tanto, estas dos vocales se pueden agrupar y ver como una sola letra. Es decir, PHN(OE).
Por lo tanto, podemos tomar letras totales como 4 y todas estas letras son distintas.
Número de métodos para organizar estas cartas.
= 4! = 4 × 3 × 2 × 1
= 24
Todas las 2 vocales (OE) son distintas.
Número de formas de ordenar estas vocales entre sí.
= 2! = 2 × 1
= 2
Por lo tanto, el número requerido de formas.
= 24 × 2
= 48.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por chhabradhanvi y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA