Fórmulas de seno coseno en trigonometría con ejemplos

La trigonometría, como su nombre lo indica, es el estudio de los triángulos. Es una rama importante de las matemáticas que estudia la relación entre las longitudes de los lados y los ángulos del triángulo rectángulo y también ayuda a determinar las longitudes de los lados o los ángulos faltantes de un triángulo. Hay seis razones o funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, donde cosecante, secante y cotangente son las funciones recíprocas de las otras tres funciones, es decir, seno, coseno y tangente, respectivamente. Una razón trigonométrica se define como la razón de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. La trigonometría se emplea en varios campos de nuestra vida diaria. Ayuda a determinar las alturas de colinas o edificios. También se utiliza en campos como la criminología, la construcción, la física, la arqueología, la ingeniería de motores marinos, etc.

Fórmulas de seis razones/funciones trigonométricas

Consideremos un triángulo rectángulo XYZ, donde ∠Y = 90°. Sea θ el ángulo en el vértice Z. El lado adyacente a “θ” se llama lado adyacente, y el lado opuesto a “θ” se llama lado opuesto. Una hipotenusa es un lado opuesto al ángulo recto o el lado más largo de un ángulo recto. 

• sen θ = Lado opuesto/Hipotenusa
• cos θ = Lado adyacente/Hipotenusa
• tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente
• cosec θ = 1/sen θ = hipotenusa/lado opuesto 
• sec θ = 1/ cos θ = Hipotenusa/Lado adyacente
• cot θ = 1/ tan θ = Lado adyacente/Lado opuesto

Fórmula del seno

El seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón de la longitud del lado opuesto a la longitud de la hipotenusa al ángulo dado. Una función seno se representa como «sin».

sen θ = Lado opuesto/Hipotenusa

Fórmula del coseno

El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón de la longitud del lado adyacente a la longitud de la hipotenusa al ángulo dado. Una función coseno se representa como «cos».

cos θ = Lado adyacente/Hipotenusa

Algunas fórmulas básicas de seno y coseno

Funciones seno y coseno en cuadrantes

• La función seno es positiva en el primer y segundo cuadrante y negativa en el tercero y cuarto cuadrante.
• La función coseno es positiva en el primer y cuarto cuadrante y negativa en el segundo y tercer cuadrante.

Grados	Cuadrante	Función de signo de seno	Función Signo de Coseno
0° a 90°	1er cuadrante	+ (positivo)	+ (positivo)
90° a 180°	2do cuadrante	+ (positivo)	– (negativo)
180° a 270°	3er cuadrante	– (negativo)	– (negativo)
270° a 360°	4to cuadrante	– (negativo)	+ (positivo)

La identidad del ángulo negativo de las funciones seno y coseno

• El seno de un ángulo negativo siempre es igual al seno negativo del ángulo.

sen (– θ) = – sen θ

• El coseno de un ángulo negativo siempre es igual al coseno del ángulo.

cos (– θ) = cos θ

Relación entre función seno y coseno 

sen θ = coseno (90° – θ)

Funciones recíprocas de las funciones seno y coseno

• Una función cosecante es la función recíproca de la función seno.

cosec θ = 1/sen θ

• Una función secante es la función recíproca de la función coseno.

seg θ = 1/cos θ

identidad pitagórica

sen ² θ + cos ² θ = 1

Identidades periódicas de las funciones seno y coseno

sen (θ + 2nπ) = sen θ

coseno (θ + 2nπ) = coseno θ

Fórmulas de doble ángulo para las funciones seno y coseno

sen 2θ = 2 sen θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – sen ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 sen ² θ

Identidades de medio ángulo para las funciones seno y coseno

sen (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

coseno (θ/2) = ±√[(1 + coseno θ)/2]

Identidades de triple ángulo para las funciones seno y coseno

sen 3θ = 3 sen θ – 4 sen ³ θ

cos 3θ = 4 cos ³ θ – 3 cos θ

Fórmulas de suma y diferencia

• función seno

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B

sen (A – B) = sen A cos B – cos A sen B

• Función coseno

cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B

cos (A – B) = cos A cos B + sen A sen B

Ley de los senos o regla de los senos 

La ley de los senos de la regla del seno es una ley trigonométrica que da una relación entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo.

a/sen A = b/sen B = c/sen C

Donde a, b y c son las longitudes de los tres lados del triángulo ABC, y A, B y C son los ángulos.

ley de los cosenos 

La ley de los cosenos de la regla del coseno se utiliza para determinar los ángulos faltantes o desconocidos o las longitudes de los lados de un triángulo.

a ² = b ² + c ² – 2bc porque A

b ² = c ² + a ² – 2ca cos B

c ² = a ² + b ² – 2ab porque C

Donde a, b y c son las longitudes de los tres lados del triángulo ABC, y A, B y C son los ángulos.

Tabla de valores de las funciones Seno y Coseno

Ángulo (en grados)	Ángulo (en radianes)	sen θ	cos θ
0°	0	0	1
30°	π/6	1/2	_3/2
45°	π/4	1/√2	1/√2
60°	π/3	√3/2	1/2
90°	π/2	1	0
120°	2π/3	√3/2	-1/2
150°	5π/6	1/2	-√3/2
180°	π	0	-1

Problemas basados ​​en la fórmula del seno y la fórmula del coseno

Problema 1: Si cos α = 24/25, encuentra el valor de sen α.

Solución:

Dado,

cos α = 24/25

De las identidades pitagóricas tenemos;

cos ² θ + sen ² θ = 1

(24/25) ² + sen ² α = 1

sen ² α = 1 – (24/25) ²

sen ² α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

sen ² α = (625 – 576)/625 = 49/626

senα = √49/625 = ±7/25

Por tanto, sen α = ±7/25.

Problema 2: Demostrar las fórmulas sen 2A y cos 2A, si ∠A= 30°.

Solución:

Dado, ∠A= 30°

Lo sabemos,

1) sen 2A = 2 sen A cos A

sen 2(30°) = 2 sen 30° cos 30°

sen 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Ya que, sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 y sen 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

LHS = RHS

2) cos 2A = 2 cos ² A – 1

cos2(30°) = 2cos2 ⁽ 30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2) ² – 1 = 3/2 – 1 {Puesto que, cos 60° = 1/2 y cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

LHS = RHS

Por lo tanto probado.

Problema 3: Encuentra el valor de cos x, si tan x = 3/4.

Solución:

Dado, tan x = 3/4

Lo sabemos,

tan x = lado opuesto/lado adyacente = 3/4

Para encontrar la hipotenusa, usamos el teorema de Pitágoras:

hipotenusa ² = opuesto ² + adyacente ²

H ² = 3 ² + 4 ²

H2 = ⁹ + 16 = 25 

H = √25 = 5

Ahora, cos x = lado adyacente/hipotenusa

porque x = 4/5

Así, el valor de cos x es 4/5.

Problema 4: encuentre ∠C (en grados) y ∠A (en grados), si ∠B = 45°, BC = 15 in y AC = 12 in.

Solución:

Dado: ∠B = 45°, BC = a = 15 in y AC = b = 12 in.

De la ley de los senos tenemos

a/sen A = b/sen B = c/sen C

⇒ a/sen A = b/sen B

⇒ 15/sen A = 12/sen 45°

⇒ 15/sen A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sen A = 12√2 = 16,97

⇒ sen A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = sen ^-1 (0,8839) = 62,11°

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Entonces, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Por lo tanto, ∠A = 62,11° y ∠C = 72,89°.

Problema 5: Demostrar identidades de medio ángulo de la función coseno.

Solución:

La identidad de medio ángulo de la función coseno es:

coseno (θ/2) = ±√[(1 + coseno θ)/2]

De las identidades de doble ángulo, tenemos,

cos 2A = 2 cos 2A ^– 1

Ahora reemplace A con θ/2 en ambos lados

⇒ cos 2 (θ/2) = 2 cos ² (θ/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos ² (θ/2) – 1

⇒ 2 cos ² (θ/2) = cos θ + 1

⇒ cos ² (θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ coseno (θ/2) = ±√[(1 + coseno θ)/2]

Por lo tanto probado.