Fórmulas periódicas con ejemplos

Un período se define como el intervalo de tiempo entre dos puntos en el tiempo, y una función periódica se define como una función que se repite a sí misma en intervalos regulares o períodos en el tiempo. En otras palabras, una función periódica es una función cuyos valores se repiten después de un intervalo de tiempo específico. Una función periódica se representa como f(x + p) = f(x), donde “p” es el período de la función. La onda sinusoidal, la onda triangular, la onda cuadrada y la onda de diente de sierra son algunos ejemplos de funciones periódicas. A continuación se muestran gráficas de algunas funciones periódicas, y podemos observar que la gráfica de cada función periódica tiene simetría traslacional.

Período fundamental de una función

El dominio de una función periódica abarca todos los valores de números reales, mientras que su rango se especifica para un intervalo fijo. Una función periódica es aquella en la que existe un número real positivo P tal que f (x + p) = f (x), siendo todos los x números reales. El período fundamental de una función es el valor mínimo del número real positivo P o el período durante el cual una función se repite.

f(x + P) = f(x)

dónde,

P es el período de la función yf es la función periódica.

¿Cómo determinar el Periodo de una Función?

1. Una función periódica se define como una función que se repite a intervalos o períodos regulares.
2. Se representa como f(x + p) = f(x), donde “p” es el periodo de la función, p ∈ R.
3. Período significa el intervalo de tiempo entre las dos ocurrencias de la onda.

Períodos de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas y el período de las funciones trigonométricas es el siguiente

• El período de Sin x y Cos x es 2π .

es decir, sen(x + 2π) = sen x y cos(x + 2π) = cos x

• El período de Tan x y Cot x es π.

es decir tan(x + π) = tan x y cot(x + π) = cot x

• El período de Sec x y Cosec x es 2π.

es decir, sec(x + 2π) = sec x y cosec(x + 2π) = cosec x

El período de la función se conoce como la distancia entre las repeticiones de cualquier función. El período de una función trigonométrica es la longitud de un ciclo completo. La amplitud se define como el desplazamiento máximo de una partícula en una onda desde el equilibrio. En palabras simples, es la distancia entre el punto más alto o más bajo y el punto medio en el gráfico de una función. En trigonometría, existen tres funciones fundamentales, a saber, seno, coseno y tangente, cuyos periodos son 2π, 2π y π periodos, respectivamente. El punto de partida del gráfico de cualquier función trigonométrica se toma como x = 0.

Por ejemplo, si observamos el gráfico de coseno que se muestra a continuación, podemos ver que la distancia entre dos ocurrencias es 2π, es decir, el período de la función coseno es 2π. Su amplitud es 1.

fórmulas periódicas

• Si “p” es el periodo de la función periódica f (x), entonces 1/f (x) también es una función periódica y tendrá el mismo periodo fundamental de p que f(x).

Si f (x + p) = f (x),

F (x) = 1/f (x) , luego F (x + p) = F (x).

• Si “p” es el periodo de la función periódica f(x), entonces f (ax + b), a>0 también es una función periódica con periodo p/|a|.

• El período de Sin (ax + b) y Cos (ax + b) es 2π/|a|.
• El período de Tan (ax + b) y Cot (ax + b) es π/|a|.
• El período de Sec (ax + b) y Cosec (ax + b) es 2π/|a|.

• Si “p” es el periodo de la función periódica f(x), entonces af(x) + b, a>0 también es una función periódica con periodo p.

• El período de [a Sin x + b] y [a Cos x + b] es 2π.
• El período de [a Tan x + b] y [a Cot x + b] es π.
• El período de [a Sec x + b] y [a Cosec x + b] es 2π.

Problemas de práctica basados ​​en la función periódica

Problema 1: Determinar el periodo de la función periódica cos(5x + 4).

Solución:

Función dada: cos (5x + 4)

El coeficiente de x = a = 5.

Lo sabemos,

El período de cos x es 2π.

Entonces, el período de cos(5x + 4) es 2π/ |a| = 2π/5.

Por tanto, el periodo de cos(5x + 4) es 2π/5.

Problema 2: Encuentra el periodo de f(x) = cot 4x + sen 3x/2.

Solución:

Dada la función periódica: f(x) = cot 4x + sen 3x/2

Lo sabemos,

El período de cot x es π y el período de sen x es 2π.

Entonces, el período de cot 4x es π/4.

Entonces, el período de sen 3x/2 es 2π/(3/2) = 4π/3.

Ahora, el cálculo del periodo de la función f(x) = cot 4x + sen 3x/2 es,

Periodo de f(x) = (MCM de π y 4π)/(HCF de 3 y 4) = 4π/1 = 4π.

Por tanto, el periodo de cot 4x + sen 3x/2 es 4π.

Problema 3: Dibuja la gráfica de y = 3 sen 3x+ 5.

Solución:

Dado que y = 3 sen 3x + 5

La onda dada tiene la forma de y = a sen bx + c

Del gráfico anterior, podemos escribir lo siguiente:

1. Período = 2π/|b| = 2π/3
2. Eje: y = 0 [eje x]
3. Amplitud: 3
4. Valor máximo = (3 × 1) + 5 = 8
5. Valor mínimo = (3 × -1) + 5 = 2
6. Dominio: { x : x ∈ R }
7. Rango = [ 8, 2]

Problema 4: Determinar el periodo de la función periódica dada 5 sin(2x + 3).

Solución:

Función dada: 5 sin(2x + 3)

El coeficiente de x = a = 2.

Lo sabemos,

El período de cos x es 2π.

Entonces, el período de 5 sin(2x + 3) es 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Por tanto, el periodo de 5 sin(2x + 3) es π.

Problema 5: Encuentra el periodo de f (x) = tan 3x + cos 5x.

Solución:

Dada la función periódica: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Lo sabemos,

El período de tan x es π y el período de cos x es 2π.

Entonces, el período de tan 3x es π/3.

Entonces, el período de cos 6x es 2π/5.

Ahora, el cálculo del periodo de la función f(x) = tan 3x + cos 6x es,

Período de f(x) = (MCM de π y 2π)/(HCF de 3 y 5) = 2π/1 = 2π.

Por tanto, el periodo de f (x) = tan 3x + cos 5x es 2π.