Fórmulas tangentes

 La trigonometría es una rama importante de las matemáticas que se ocupa de la relación entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Las seis razones o funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente, cosecante y secante, y una razón trigonométrica es una razón entre los lados de un triángulo rectángulo. Las funciones seno, coseno y tangente son tres funciones trigonométricas importantes ya que las otras tres, es decir, las funciones cosecante, secante y cotangente son las funciones recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente.

• sen θ = Lado opuesto/Hipotenusa
• cos θ = Lado adyacente/Hipotenusa
• tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente
• cosec θ = hipotenusa/lado opuesto
• sec θ = hipotenusa/lado adyacente 
• cot θ = Lado adyacente/Lado opuesto

fórmula tangente

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente al ángulo dado. Escribimos una función tangente como «tan». Consideremos un triángulo rectángulo XYZ y uno de sus ángulos agudos es “θ”. Un lado opuesto es el lado opuesto al ángulo «θ» y el lado adyacente es el lado adyacente al ángulo «θ».

Ahora, la fórmula de la tangente para el ángulo dado «θ» es,

tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

Algunas fórmulas tangentes básicas

Función Tangente en Cuadrantes

La función tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto cuadrante.

tan (2π + θ) = tan θ ( ^1er cuadrante)

tan (π – θ) = – tan θ (2º ^cuadrante )

tan (π + θ) = tan θ (3er ^cuadrante )

tan (2π – θ) = – tan θ ( ^cuarto cuadrante)

Función tangente como función negativa

La función tangente es una función negativa ya que la tangente de un ángulo negativo es el negativo de un ángulo tangente positivo.

bronceado (-θ) = – bronceado θ

Función tangente en términos de función seno y coseno

La función tangente en términos de funciones seno y coseno se puede escribir como,

tan θ = sen θ/cos θ

Sabemos que, tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

Ahora, divide tanto el numerador como el denominador con la hipotenusa

tan θ = (Lado opuesto/Hipotenusa)/(Lado adyacente/Hipotenusa)

Sabemos que, sen θ = lado opuesto/hipotenusa

cos θ = lado adyacente/hipotenusa

Por lo tanto, tan θ = sen θ/cos θ

Función tangente en términos de la función seno

La función tangente en términos de la función seno se puede escribir como,

tan θ = sen θ/(√1 – sen ² θ)

Lo sabemos,

tan θ = sen θ/cos θ

De las identidades pitagóricas, tenemos,

sen ² θ + cos ² θ = 1

cos ² θ = 1 – sen ² θ

cos θ = √(1 – sen ² θ)

Por lo tanto, tan θ = sen θ/(√1 – sen ² θ)

Función tangente en términos de la función coseno

La función tangente en términos de la función coseno se puede escribir como,

tan θ = (√1 -cos ² θ)/cos θ

Lo sabemos,

tan θ = sen θ/cos θ

De las identidades pitagóricas, tenemos,

sen ² θ + cos ² θ = 1

sen ² θ = 1 – cos ² θ

sen θ = √(1 – cos ² θ)

Por lo tanto, tan θ = (√1 – cos ² θ)/cos θ

Función tangente en términos de la función cotangente

La función tangente en términos de la función cotangente se puede escribir como,

tan θ = 1/cuna θ

o

tan θ = cot (90° – θ) (o) cot (π/2 – θ)

Función tangente en términos de la función cosecante

La función tangente en términos de la función cosecante se puede escribir como,

tan θ = 1/√(coseg ² θ – 1)

De las identidades pitagóricas, tenemos,

cosec ² θ – cot ² θ = 1

cuna ² θ = cosec ² θ – 1

cuna θ = √(coseg ² θ – 1)

Lo sabemos,

tan θ = 1/cuna θ

Por lo tanto, tan θ = 1/√(cosec ² θ – 1)

Función tangente en términos de la función secante

La función tangente en términos de la función secante se puede escribir como,

bronceado θ = √seg ² θ – 1

De las identidades pitagóricas, tenemos,

segundo ² θ – bronceado ² θ = 1

bronceado θ = segundo ² θ – 1

Por lo tanto, tan θ = √(seg ² θ – 1)

Función tangente en términos de doble ángulo

La función tangente para un ángulo doble es,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² θ)

Función tangente en términos de ángulo triple

La función tangente para un triple ángulo es,

 tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² θ)

Función tangente en términos de medio ángulo

La función tangente para un semiángulo es,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sen θ)

Función tangente en términos de la suma y resta de dos ángulos

Las fórmulas de suma y diferencia para una función tangente son,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Tabla de razones trigonométricas

Ángulo (En grados)	Ángulo (En radianes)	sen θ	cos θ	tan θ = sen θ/cos θ
0°	0	0	0	0/1 = 0
30°	π/6	1/2	√3/2	(1/2)/(√3/2) = 1/√3
45°	π/4	1/√2	1/√2	(1/√2)/(1/√2) = 1
60°	π/3	√3/2	1/2	(√3/2)/(1/2) = √3
90°	π/2	1	0	1/0 = indefinido
120°	2π/3	√3/2	-1/2	(√3/2)/(-1/2) = -√3
150°	5π/6	1/2	-(√3/2)	(1/2)/(-√3/2) = -1/√3
180°	π	0	-1	0/(-1) = 0

Problemas de muestra

Problema 1: Encuentra el valor de tan θ si sen θ = 2/5 y θ es el ángulo del primer cuadrante.

Solución:

Dado, sen θ = 2/5

De las identidades pitagóricas que tenemos,

sen ² θ + cos ² θ = 1

cos ² θ = 1 – sen ² θ = 1 – (2/5) ²

cos ² θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Dado que θ es el ángulo del primer cuadrante, cos θ es positivo.

cos θ = √21/5

Lo sabemos,

 tan θ = sen θ/cos θ

= (2/3)/(√21/5)

Por lo tanto, tan θ = 10/3√21

Problema 2: Encuentra el valor de tan x si sec x = 13/12 y x es el ángulo del cuarto cuadrante.

Solución:

Dado, seg x = 13/12

De las identidades pitagóricas, tenemos,

seg ² x – tan ² x = 1

tan ² x = seg ² x – 1= (13/12) ² – 1

tan ² x = (169/144) – 1= 25/144

tan x = ± 5/12

Dado que x es el ángulo del cuarto cuadrante, tan x es negativo.

tan x = – 5/12

Por lo tanto, tan x = – 5/12

Problema 3: si tan X = 2/3 y tan Y = 1/2, ¿cuál es el valor de tan (X + Y)?

Solución:

Dado,

bronceado X = 2/3 y bronceado Y = 1/2

Lo sabemos,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Por lo tanto, tan (X + Y) = 7/4

Problema 4: Calcula la función tangente si los lados adyacentes y opuestos de un triángulo rectángulo miden 4 cm y 7 cm, respectivamente.

Solución:

Dado,

Lado adyacente = 4 cm

Lado opuesto = 7 cm

Lo sabemos,

tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

bronceado θ = 7/4 = 1,75

Por lo tanto, tan θ = 1.75

Problema 5: Un hombre está mirando una torre de reloj en un ángulo de 60° con respecto a la parte superior de la torre, cuya altura es de 100 m. ¿Cuál es la distancia entre el hombre y el pie de la torre?

Solución:

Dado,

La altura de la torre = 100 m y θ = 60°

Sea la distancia entre el hombre y el pie de la torre = d

 

Tenemos,

tan θ = Lado opuesto/Lado adyacente

tan 60° = 100/d

√3 = 100/d [Ya que, tan 60° = √3]

d = 100/√3

Por tanto, la distancia entre el hombre y el pie de la torre = 100/√3

Problema 6: Encuentra el valor de tan θ si sen θ = 7/25 y sec θ = 25/24.

Solución:

Dado,

sen θ = 7/25

segundo θ = 25/24

Lo sabemos,

seg θ = 1/cos θ 

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Tenemos,

tan θ = sen θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Por lo tanto, tan θ = 7/24

Problema 7: Encuentre el valor de tan θ si cosec θ = 5/3, y θ es el ángulo del primer cuadrante.

Solución:

Dado, cosec θ = 5/3

De las identidades pitagóricas, tenemos,

cosec ² θ – cot ² θ = 1

cuna ² θ = cosec ² θ – 1

cuna θ = (5/3) ² – 1 = (25/9) – 1 = 16/9

cuna θ = ±√16/9 = ± 4/3

Como θ es el ángulo del primer cuadrante, tanto la función cotangente como la tangente son positivas.

cuna θ = 4/3

Lo sabemos,

cuna θ = 1/bronceado θ 

4/3 = 1/tan θ

tan θ = 3/4

Por lo tanto, tan θ = 3/4

Problema 8: Encuentre tan 3θ si sen θ = 3/7 y θ es el ángulo del primer cuadrante.

Solución :

Dado, sen θ = 12/13

De las identidades pitagóricas que tenemos,

sen ² θ + cos ² θ = 1

cos ² θ = 1 – sen ² θ = 1 – (12/13) ²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Dado que θ es el ángulo del primer cuadrante, cos θ es positivo.

cos θ = 5/13

Lo sabemos,

tan θ = sen θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Por lo tanto, tan θ = 12/5

Ahora, sabemos que,

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan 2θ)

tan 3θ = 3*(12/5)