Fuerzas entre cargas múltiples

Cuando nos quitamos la ropa sintética o el suéter de nuestro cuerpo, especialmente en clima seco, aparece una chispa o un crujido. Con ropa femenina como un sari de poliéster, esto es casi inevitable. Los relámpagos, en el cielo durante las tormentas eléctricas, son otro caso de descarga eléctrica. Es una descarga eléctrica que siempre sentimos al abrir la puerta de un automóvil o agarrar la barra de hierro de un autobús después de deslizarnos de nuestros asientos. La causa de estas sensaciones es la descarga de cargas eléctricas que se han acumulado como consecuencia del roce de superficies aislantes. Esto se debe a la generación de electricidad estática. Cualquier cosa que no tenga movimiento o cambio con el tiempo se denomina estática. El estudio de las fuerzas, campos y potenciales provenientes de cargas estáticas se conoce como electrostática.

Ley de Coulomb

La ley de Coulomb es una fórmula matemática que describe la fuerza entre dos cargas puntuales. Cuando el tamaño de los cuerpos cargados es sustancialmente más pequeño que la separación entre ellos, entonces el tamaño no se considera o puede ignorarse. Los cuerpos cargados pueden considerarse como cargas puntuales. Coulomb estudió la fuerza entre dos cargas puntuales y descubrió que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas, directamente proporcional al producto de sus magnitudes y actuando en una línea que las conecta.

Expresión de la Ley de Coulomb

La cantidad de fuerza (F) entre dos cargas puntuales q ₁ y q ₂ separadas por una distancia r en el vacío está dada por

$F∝q_1q_2\\ F∝\frac{1}{r^2}\\ F=k\frac{q_1q_2}{r^2}\\ F=\frac{q_1q_2}{4\pi{\epsilon}_\circ{r^2}}$

Donde F es la fuerza entre dos cargas puntuales, q ₁ y q ₂ son la carga puntual, r es la distancia entre la carga puntual y k es la constante de proporcionalidad. Para mayor simplicidad, la constante k en la expresión anterior se escribe comúnmente como

$k=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}$

Aquí, $\epsilon_\circ$ se conoce como la permitividad del espacio libre. El valor de $\epsilon_\circ$ en unidades SI es

$\epsilon_\circ=8.854\times10^{-12}\text{C}^2\text{N}^{-1}\text{m}^{-2}$

Ley de Coulomb en forma vectorial

Geometría y Fuerzas entre cargas

La ley de Coulomb se escribe mejor en notación vectorial porque la fuerza es una cantidad vectorial. Las cargas q ₁ y q ₂ tienen vectores de ubicación r ₁ y r ₂ , respectivamente. F ₁₂ denota fuerza sobre q ₁ debido a q ₂ y F ₂₁ denota fuerza sobre q ₂ debido a q ₁ . Por conveniencia, las cargas de dos puntos q ₁ y q ₂ se han numerado 1 y 2, respectivamente, y el vector que va de 1 a 2 se ha designado como r ₂₁ .

$\overrightarrow{r}_{21} = \overrightarrow{r}_2- \overrightarrow{r}_1$

De manera similar, el vector que va de 2 a 1 se denota por r ₁₂ ,

$\overrightarrow{r}_{12} = \overrightarrow{r}_1- \overrightarrow{r}_2$

r ₂₁ y r ₁₂ son las magnitudes de los vectores $\overrightarrow{r}_{21}$ y $\overrightarrow{r}_{12}$ , respectivamente y la magnitud r ₁₂ es igual a r ₂₁ . Un vector unitario a lo largo del vector especifica la dirección del vector. Los vectores unitarios se utilizan para indicar la dirección de 1 a 2 (o de 2 a 1). Los vectores unitarios se definen como,

$\hat{r}_{21}=\frac{\overrightarrow{{r}}_{21}}{r_{21}}$

Similarmente,

$\hat{r}_{12}=\frac{\overrightarrow{{r}}_{12}}{r_{12}}$

La ley de fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales q ₁ y q ₂ ubicadas en los vectores r ₁ y r ₂ se expresa entonces como

$\overrightarrow{F}_{21}=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{21}^2}\hat{r}_{21}\\ \overrightarrow{F}_{21}=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{21}^3}\overrightarrow{r}_{21}$

Fuerza entre cargas múltiples

Un sistema de tres cargas.

Considere un sistema en el vacío con n inmóviles, es decir, cargas estacionarias q ₁ , q ₂ y q ₃ . Se ha demostrado experimentalmente que la suma vectorial de todas las fuerzas sobre una carga debidas a otras cargas, tomadas una a la vez, es la suma vectorial de todas las fuerzas sobre esa carga debidas a las otras cargas. Debido a la presencia de otras cargas, las fuerzas separadas no se ven afectadas. Esto se conoce como el principio de superposición.

La fuerza sobre una carga, digamos q ₁ , debida a otras dos cargas, q ₂ y q ₃ , puede determinarse realizando una suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de estas cargas. Como resultado, si F ₁₂ denota la fuerza ejercida sobre q ₁ como resultado de q ₂ ,

$\overrightarrow{F}_{12}=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12}$

De manera similar, F ₁₃ denota la fuerza ejercida sobre q ₁ como resultado de q ₃ , que nuevamente es la fuerza de Coulomb sobre q ₁ debida a q ₃ aunque haya otra carga q ₂ presente. Por lo tanto, la fuerza total F ₁ sobre q ₁ debido a las dos cargas q ₂ y q ₃ se puede expresar como,

$\overrightarrow{F}_{1}=\overrightarrow{F}_{12}+\overrightarrow{F}_{13}\\ \overrightarrow{F}_{1}=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12}+\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_3}{{r}_{13}^2}\hat{r}_{13}\\ \overrightarrow{F}_{1}=\frac{q_1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\left[\frac{q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12}+\frac{q_3}{{r}_{13}^2}\hat{r}_{13}\right]$

Un sistema de cargas múltiples.

El cálculo de fuerza anterior se puede aplicar a un sistema con más de tres cargas. El principio de superposición establece que en un sistema de cargas q ₁ , q ₂ …….qn, la fuerza sobre q ₁ debida a q ₂ es igual a la ley de Coulomb, es decir, no se ve afectada por la presencia de otras cargas q ₃ , q ₄ ,…, q _norte . La suma vectorial de las fuerzas F ₁₂ , F ₁₃ ,…, F _1n sobre la carga q ₁ debido a todas las demás cargas da la fuerza total F ₁ se puede escribir como

$\overrightarrow{F}_{1}=\overrightarrow{F}_{12}+\overrightarrow{F}_{13}+....+\overrightarrow{F}_{1n}\\ \overrightarrow{F}_{1}=\frac{q_1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\left[\frac{q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12}+\frac{q_3}{{r}_{13}^2}\hat{r}_{13}+....+\frac{q_n}{{r}_{1n}^2}\hat{r}_{1n}\right]\\ \overrightarrow{F}_{1}=\frac{q_1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\sum_{i=2}^n\frac{q_i}{{r}_{1i}^2}\hat{r}_{1i}$

La suma vectorial se calcula utilizando la ley del paralelogramo de la suma vectorial. La ley de Coulomb y el principio de superposición son los fundamentos de la electrostática.

Puntos clave sobre la ley de Coulomb

La expresión anterior se cumple independientemente de si q ₁ yq ₂ son positivos o negativos. F ₂₁ es hacia $\hat{r}_{21}$ , que fuerza repulsiva, como debería ser para cargas iguales que son si q ₁ y q ₂ son del mismo signo (tanto positivo como negativo). Cuando los signos de q ₁ y q ₂ son opuestos o no les gusta la carga, F ₂₁ es hacia $-\hat{r}_{21}$ , hacia $\hat{r}_{12}$ la que muestra atracción, como se esperaba para cargas diferentes. Como resultado, no necesitamos construir ecuaciones separadas para cargas iguales y diferentes. Ambos casos se manejan correctamente mediante la expresión anterior para la ley de fuerza de Coulomb.
La expresión anterior para la ley de fuerza de Coulomb se puede usar para calcular la fuerza F ₁₂ sobre la carga q ₁ debido a la carga q ₂ simplemente intercambiando 1 y 2 como,

$\overrightarrow{F}_{12}=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{12}^2}\hat{r}_{12}\\ \overrightarrow{F}_{12}=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_\circ}\frac{q_1q_2}{{r}_{12}^3}\overrightarrow{r}_{12}$

Por lo tanto, la ley de Coulomb concuerda con la tercera ley de Newton.

En el vacío, la expresión de la ley de Coulomb determina la fuerza entre dos cargas q ₁ y q ₂ . Si las cargas están depositadas en materia o hay materia en la zona intermedia, la situación se complica por la presencia de constituyentes de materia cargada.
Dos conductores idénticos con cargas q ₁ y q ₂ se ponen en contacto y luego se separan, lo que da como resultado que cada conductor tenga una carga igual a (q ₁ +q ₂ )/2. Cada carga será igual a (q ₁ -q ₂ )/2 si las cargas son q ₁ y –q ₂ .

Carga eléctrica

La palabra “electricidad” proviene de la palabra griega “electrón”, que significa “ámbar”. Las fuerzas magnéticas y eléctricas presentes en los materiales, átomos y moléculas afectan sus propiedades. El término «carga eléctrica» se refiere solo a dos tipos de entidades. Según los resultados de un experimento, existen dos tipos de electrificación:

Cargas similares se repelen entre sí y
Las cargas diferentes se atraen entre sí

La polaridad de la carga es la característica que distingue a estos dos tipos de cargas.

Conductores y Aislantes

Cuando se llevó a cabo un experimento sobre cargas eléctricas causadas por electricidad friccional, se descubrió que los conductores ayudan en el flujo de carga eléctrica, mientras que los aisladores no. El metal, la tierra y los cuerpos humanos son todos conductores, pero la porcelana, el nailon y la madera son aislantes y ofrecen una alta resistencia al flujo de electricidad a través de ellos.

Propiedades de la carga eléctrica

Hay tres cualidades básicas de una carga eléctrica:

Cuantización: La carga total de un cuerpo indica el múltiplo integral de un cuanto básico de carga.
Aditivo: esta propiedad de carga eléctrica refleja la carga total de un cuerpo como la suma algebraica de todas las cargas singulares que actúan sobre el sistema.
Conservación: Toda la carga de un sistema permanece invariable a lo largo del tiempo, según la conservación. En otras palabras, cuando los objetos se cargan como resultado de la fricción, la carga se transfiere de un objeto a otro. No hay manera de crear o eliminar cargos.

Propiedades de las líneas de campo eléctrico

Las siguientes son algunas de las características generales de las líneas de campo:

En una zona libre de carga, las líneas de campo muestran una curva continua sin interrupciones.
Las líneas de campo eléctrico nunca se cruzan entre sí.
Estas líneas de campo eléctrico comienzan con una carga positiva y terminan con una carga negativa.
Las líneas de campo electrostático no forman bucles cerrados.

Problemas de muestra

Problema 1: Una carga positiva de 6×10 ^-6 C está a 0,040 m de la segunda carga positiva de 4×10 ^-6 C. Calcula la fuerza entre las cargas.

Solución:

Dado,

Una carga positiva q1 es 6×10 ^-6 C.

La segunda carga positiva q2 es 4×10 ^-6 C.

La distancia entre las cargas r es de 0,040 m.

$F_e=k\frac{q_1q_2}{r^2}$

Sustituya los valores en la expresión anterior,

$F_e=9\times10^9\times\frac{6\times10^{-6}\times4\times10^{-6}}{0.04^2}\\F_e=9\times10^9\times\frac{24\times10^{-12}}{0.04^2} \\F_e=134.85\text{ N}$

Problema 2: Cuatro cargas iguales q se mantienen en los vértices de un cuadrado de lado ‘r’, hallar la fuerza neta sobre una de las cargas.

Solución:

Dado,

Cuatro cargas iguales ‘q’ y la distancia entre ellas es r.

Las fuerzas repulsivas individuales en la esquina cargan q y hacen un diagrama vectorial y anotan las fuerzas, que como:

La fuerza debida a la carga superior izquierda sobre la carga superior derecha es F ₁ y se puede expresar como,

F ₁ = (kq ² )/r ²

La fuerza debida a la carga inferior derecha sobre la carga superior derecha es F ₂ y se puede expresar como,

F ₂ = (kq ² )/r ²

La fuerza debida a la carga inferior izquierda sobre la carga superior derecha es F ₃ y se puede expresar como,

$F_3=\frac{kq^2}{(\sqrt{2}r)^2}$

La fuerza resultante sobre la carga superior derecha se puede escribir como,

$F=\sqrt{F_1+F_2+2F_1F_2\cos\theta}+F_3$

Aquí cos 90 ^o es igual a 0.

Sustituye el valor en la expresión anterior.

$F=\sqrt{\frac{kq^2}{r^2}+\frac{kq^2}{r^2}+2\times\frac{kq^2}{r^2}\times\frac{kq^2}{r^2}\times\cos90^\circ}+\frac{kq^2}{(\sqrt{2}r)^2}\\ F=\sqrt{\frac{2kq^2}{r^2}}+\frac{kq^2}{2r^2}\\ F=\sqrt{2k}\left(\frac{q}{r}\right)+\frac{kq^2}{2r^2}$

Problema 3: Cargas de 100 microculombios de magnitud cada una están ubicadas en el vacío en las esquinas A, B y C de un triángulo equilátero que mide 4 metros de lado. Si la carga en A y C es positiva y la carga B negativa, ¿cuál es la magnitud y dirección de la fuerza total sobre la carga en C?

Solución:

La Fuerza FCA se aplica hacia AC y la expresión para la FCA se expresa como

$F_{CA}=\frac{qq}{4\pi{\epsilon}_\circ}$

Sustituya los valores en la expresión anterior,

$F_{CA}=\frac{100\times10^{-6}\times100\times10^{-6}}{4\pi\times8.854\times10^{-12}}\\ F_{CA}=5.625\text{ N}$

La fuerza FCB se aplica hacia CB y la expresión para FCB se expresa como

$F_{CB}=\frac{qq}{4\pi{\epsilon}_\circ}$

Sustituya los valores en la expresión anterior,

$F_{CB}=\frac{100\times10^{-6}\times100\times10^{-6}}{4\pi\times8.854\times10^{-12}}\\ F_{CB}=5.625\text{ N}$

Por lo tanto, las dos fuerzas son iguales en magnitud pero en diferentes direcciones. El ángulo entre ellos es de 120º. La fuerza resultante F está dada por,

$F=\sqrt{F_{CA}^2+F_{CB}^2+2F_{CA}F_{CB}\cos\theta}\\ F=\sqrt{5.625^2+5.625^2+2\times5.625\times5.625\times\cos120^\circ}\\ F=5.625\text{ N}$

Problema 4: Compara la naturaleza de las fuerzas electrostática y gravitacional.

Solución:

Entre dos enormes masas, actúa una fuerza gravitatoria. Sin embargo, una fuerza electrostática se activa cuando dos cuerpos cargados entran en contacto.

similitudes:

Estas dos fuerzas son fuerzas centrales.

Sigue la ley de los cuadrados inversos.

Ambos son fuerzas de largo alcance.

Ambas fuerzas son naturalmente conservativas.

Disimilitudes:

En la naturaleza, la fuerza electrostática puede ser tanto atractiva como repelente. En la naturaleza, la fuerza gravitacional solo puede ser atractiva.

El medio material entre dos cargas afecta la fuerza eléctrica entre ellas. El medio material entre cuerpos enormes tiene poco efecto sobre la fuerza gravitacional.

Las fuerzas eléctricas son extremadamente poderosas (aproximadamente 10 38 veces más fuertes) que las fuerzas gravitatorias.

Problema 5: ¿Por qué la fuerza de Coulomb actúa entre dos cargas sólo en la línea que une sus centros?

Solución:

Debido a las características fundamentales de la carga eléctrica, este es el caso. Las cargas que son similares se repelen entre sí. Las cargas diametralmente opuestas se atraen.

La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas se dirigirá en la dirección en que la fuerza realice la menor cantidad de trabajo. Como resultado de este requisito, la acción se dirige a lo largo de la línea recta que une las dos cargas, que es la distancia más corta entre ellas.

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Artículo escrito por anoopraj758 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Ley de Coulomb

Fuerza entre cargas múltiples

Problemas de muestra

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