función cóncava

Los gráficos de las funciones nos dan mucha información sobre la naturaleza de la función, las tendencias y los puntos críticos como máximos y mínimos de la función. Las derivadas nos permiten analizar matemáticamente estas funciones y su signo puede darnos información sobre el máximo y mínimo de la función que es necesaria para trazar las gráficas. A veces, simplemente saber si el gráfico de una función es creciente o decreciente no es suficiente, también debemos observar la dirección de la curvatura del gráfico. La dirección nos dice si la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Veamos cómo identificar estas tendencias usando derivados. 

¿Qué son las funciones cóncavas?

Una función cóncava también se llama gráfico cóncavo hacia abajo. Intuitivamente, la concavidad de la función significa la dirección en la que se abre la función, la concavidad describe el estado o la calidad de una función cóncava. Por ejemplo, si la función abre hacia arriba se llama cóncava hacia arriba y si abre hacia abajo se llama cóncava hacia abajo. La siguiente figura muestra dos funciones que son cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo, respectivamente. 

Análisis de concavidad de funciones cóncavas usando gráficos

La concavidad también se puede identificar dibujando tangentes en puntos del gráfico. Por ejemplo, se dice que un gráfico es cóncavo hacia arriba en un punto si una tangente trazada al gráfico en ese punto se encuentra debajo del gráfico en la vecindad de ese punto. De manera similar, se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en un punto si una tangente trazada a la gráfica de ese punto se encuentra sobre la gráfica en la vecindad de ese punto. Esto se puede ver en la figura que se muestra a continuación, 

Tenga en cuenta que también puede haber un punto en el que la tangente trazada hacia él no se encuentre ni encima ni debajo de la gráfica. Tales tangentes cortan la gráfica en ese punto. En ese punto, la concavidad cambia de arriba a abajo o viceversa. Este punto se llama punto de inflexión. 

Ahora veamos la definición formal de todos estos puntos, 

Digamos que tenemos una función f(x), 

1. Se dice que f(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo I si todas las posibles tangentes dibujadas a la curva en diferentes puntos del intervalo I están debajo del gráfico.
2. Se dice que f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo I si todas las posibles tangentes trazadas a la curva en diferentes puntos del intervalo I se encuentran por encima del gráfico.

Un punto x = a en la curva f(x) se llama punto de inflexión si la función es continua y la concavidad de la gráfica cambia en ese punto. 

Analizando el estado de funciones cóncavas (concavidad) usando Derivadas

El método anterior es un método gráfico para analizar la concavidad de la función, pero a veces no tenemos la gráfica de la función. Cuando no tenemos conocimiento sobre la gráfica de la función, las derivadas vienen a nuestro rescate. Digamos que tenemos una función f(x). Considere los diferentes casos dados en la figura a continuación, sabemos que la pendiente de la tangente nos da el valor de la derivada de la función en ese punto de contacto. 

Observe que en la figura anterior, cuando la función es cóncava hacia abajo, la pendiente de la tangente disminuye en valor, lo que significa que las derivadas disminuyen. De manera similar, cuando la función es cóncava hacia arriba, el valor de las derivadas es decreciente. Así, podemos sacar las siguientes conclusiones: 

1. Si la función es cóncava hacia arriba, su derivada f'(x) es decreciente.
2. Si la función es cóncava hacia abajo, su derivada f'(x) es creciente.
3. Cuando la función f(x) tiene un punto de inflexión en el punto x = a. f'(x) va de creciente a decreciente o viceversa. Eso significa que la gráfica de la función f'(x) tiene un mínimo/máximo en x = a.

Podemos sacar reglas matemáticas de estas observaciones dadas arriba, 

Digamos que tenemos una función f(x), 

1. Para el intervalo I, si f”(x) > 0 entonces la función f(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo I.
2. Para el intervalo I, si f”(x) < 0 entonces la función f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo I.
3. Si x = a es un punto de inflexión, entonces en x = a, f”(a) = 0.

Problemas de muestra

Pregunta 1: ¿Cuál debería ser el valor de “a” para que la función f(x) = ax ³ + 4x ² + 1 sea cóncava hacia abajo en x = 1? 

Solución: 

Necesitamos analizar las funciones a través de la prueba de la segunda derivada explicada anteriormente, 

f(x) =ax ² + 4x + 1 

Diferenciando la función, 

⇒ f'(x) = 3ax ² + 8x

Derivando de nuevo para encontrar la segunda derivada,

⇒ f”(x) = 6ax + 8

En x = 1.

f”(1) = 6a + 8 

Para que la función sea cóncava hacia abajo, f”(x) < 0

6a + 8 < 0 

⇒ un = 

Pregunta 2: ¿Cuál es la forma del gráfico de la función f(x) =   en x = 2? 

Solución: 

Necesitamos analizar las funciones a través de la prueba de la segunda derivada explicada anteriormente, 

f(x) = 

Diferenciando la función, 

⇒ f'(x) = 

Derivando de nuevo para encontrar la segunda derivada,

⇒ f”(x) = 

En x = 2. 

f”(x) = 

⇒ f”(x) = 

f”(2) = 

Entonces, f”(2) < 0. Por lo tanto, de la definición anterior podemos decir que la forma de la función es cóncava hacia abajo en x = 2. 

Pregunta 3: ¿Cuál es la forma del gráfico de la función f(x) = x ²  + x + 1 en x = 0? 

Solución: 

Necesitamos analizar las funciones a través de la prueba de la segunda derivada explicada anteriormente, 

f(x) = x2 + x ⁺  1

Diferenciando la función, 

⇒ f'(x) = 2x + 1

Derivando de nuevo para encontrar la segunda derivada,

⇒ f”(x) = 2

En x = 2. 

f”(0) = 2

Entonces, f”(0) > 0. Por lo tanto, de la definición anterior podemos decir que la forma de la función es cóncava hacia arriba en x = 2. 

Pregunta 4: ¿Cuál es la forma del gráfico de la función f(x) = x ³  + 4x ² + 1 en x = 0? 

Solución: 

Necesitamos analizar las funciones a través de la prueba de la segunda derivada explicada anteriormente, 

f(x) = x3 ⁺  4×2 + ¹

Diferenciando la función, 

⇒ f'(x) = 3x ² + 8x

Derivando de nuevo para encontrar la segunda derivada,

⇒ f”(x) = 6x + 8

En x = 0. 

f”(0) = 8

Entonces, f”(0) > 0. Por lo tanto, de la definición anterior podemos decir que la forma de la función es cóncava hacia arriba en x = 0. 

Pregunta 5: Indica si la gráfica de la función f(x) = e ^x + cos(x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo en x = 0. 

Responder: 

Necesitamos analizar las funciones a través de la prueba de la segunda derivada explicada anteriormente, 

f(x) = e ^x + cos(x) 

Diferenciando la función, 

⇒ f'(x) = e ^x – sin(x) 

Derivando de nuevo para encontrar la segunda derivada,

⇒ f”(x) = e ^x – cos(x) 

En x = 0. 

f”(0) = e ⁰ – cos(0) 

⇒f”(0) = 1 – 1

⇒f”(0) = 0 

Ya que, f”(0) =0. De la definición anterior podemos decir que la función no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en x = 0. Entonces, x = 0 es el punto de inflexión de la función f(x). 

Pregunta 6: Trace la gráfica de la función f(x) = (x-3) ² + 5. 

Solución: 

Primero, verifiquemos los valores asintóticos de la función f(x). 

en x = ∞ y x = -∞ la función f(x) tiende a infinito positivo. 

en x = 0 

f(0) = 3 ² + 5

⇒ f(0) = 14 

Busquemos los puntos críticos, 

f(x) = (x-3) ² + 5

Diferenciando f(x) con x, 

f'(x) = 2(x – 3) 

resolver, 

f'(x) = 0

⇒ 2(x – 3) = 0 

⇒x = 3

x = 3 es un mínimo. 

Ahora veamos cuál será la forma de la gráfica en x = 3 

f”(x) = 2

f”(x) > 0 Por tanto, la gráfica será cóncava hacia arriba. 

Por lo tanto, la gráfica de la función se verá como,