Funciones en Matemáticas Discretas

Las funciones son una parte importante de las matemáticas discretas. Este artículo trata sobre las funciones, sus tipos y otros detalles de las funciones. Una función asigna exactamente un elemento de un conjunto a cada elemento del otro conjunto. Las funciones son las reglas que asignan una entrada a una salida. La función se puede representar como f: A ⇢ B. A se llama el dominio de la función y B se llama la función del codominio . 

Funciones:

• Una función asigna exactamente un elemento de un conjunto a cada elemento de otros conjuntos.
• Una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida.
• Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A (donde A y B son conjuntos no vacíos).
• Una función f del conjunto A al conjunto B se representa como f: A ⇢ B donde A se denomina dominio de f y B se denomina codominio de f.
• Si b es un único elemento de B al elemento a de A asignado por la función F entonces, se escribe como f(a) = b.
• La función f asigna A a B significa que f es una función de A a B, es decir, f: A ⇢ B

Dominio de una función:

• Si f es una función del conjunto A al conjunto B, A se llama el dominio de la función f.
• El conjunto de todas las entradas de una función se llama su dominio.

Codominio de una función:

• Si f es una función del conjunto A al conjunto B, entonces B se llama el codominio de la función f.
• El conjunto de todas las salidas permitidas para una función se llama su codominio.

Pre-imagen e Imagen de una función:

Una función f: A ⇢ B tal que para cada a ∈ A, existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ R entonces, a se llama preimagen de f y b se llama imagen de f .

Tipos de función:

Función uno-uno (o función inyectiva):

Una función en la que un elemento del dominio está conectado a un elemento del codominio.

Una función f: A ⇢ B se dice que es una función uno-uno (inyectiva) si diferentes elementos de A tienen diferentes imágenes en B.

f: A ⇢ B es uno-uno 

⇒ a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) para todo a, b ∈ A

⇒ f(a) = f(b) ⇒ a = b para todo a, b ∈ A

Función muchos-uno:

Una función f: A ⇢ B se dice que es una función de muchos uno si dos o más elementos del conjunto A tienen la misma imagen en B.

Una función f: A ⇢ B es una función de muchos si no es una función de uno.

f: A ⇢ B es muchos-uno 

⇒ a ≠ b pero f(a) = f(b) para todo a, b ∈ A

Sobre la función (o función sobreyectiva):

Se dice que una función f: A -> B es sobre (sobreyectiva) si cada elemento de B es una imagen de algún elemento de A, es decir, f(A) = B o el rango de f es el codominio de f.

Una función en la que cada elemento del codominio tiene una imagen previa.

 f: A ⇢ B es sobre si para cada b∈ B, existe a∈ A tal que f(a) = b.

en función:

Se dice que una función f: A ⇢ B es an en una función si existe un elemento en B sin preimagen en A.

Una función f: A ⇢ B está en función cuando no está en.

Función correspondiente uno-uno (o función biyectiva o función uno-uno sobre):

Una función que es a la vez uno-uno y sobre (tanto inyectiva como sobreyectiva) se llama función uno-uno correspondiente (biyectiva). 

f : A ⇢ B es uno uno correspondiente (biyectiva) si:

• uno-uno, es decir, f(a) = f(b) ⇒ a = b para todo a, b ∈ A
• sobre ie para cada b ∈ B, existe un ∈ A tal que f(a) = b.

Función uno-uno en:

Una función que es a la vez uno-uno y en se llama función uno-uno en.

Función muchos-uno sobre:

Una función que es a la vez muchos-uno y sobre se llama función muchos-uno sobre.

Muchos-uno en una función:

Una función que es a la vez muchos-uno y en se llama función muchos-uno en.

Inversa de una función:

Sea f: A ⇢ B una biyección entonces, una función g: B ⇢ A que asocia cada elemento b ∈ B a un elemento diferente a ∈ A tal que f(a) = b se llama la inversa de f.

f(a) = segundo ↔︎ g(b) = un

Composición de funciones: –

Sean f: A ⇢ B y g: B ⇢ C dos funciones entonces, una función gof: A ⇢ C está definida por 

(gof)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ A 

se llama la composición de f y g.

Nota:

Sean X e Y dos conjuntos con m y n elementos y una función se define como f : X->Y entonces,

• Número total de funciones = n ^m
• Número total de funciones uno a uno = ⁿ P _m
• Número total de funciones sobre = n m ^– n ^C 1 ₍ n-1) ^m + ⁿ C ₂ (n-2) ^m – ………….. + (-1) ^n-1n C _n-1 1 ^m    si m ≥ norte.

Para que la composición de las funciones f y g sean dos funciones: 

• niebla ≠ gof 
• Si f y g son funciones uno a uno, entonces la niebla también es uno a uno.
• Si f y g están sobre la función, entonces la niebla también está sobre.
• Si f y fog son funciones uno a uno, entonces g también es uno a uno.
• Si f y fog tienen función sobre, entonces no es necesario que g también sea sobre.
• (niebla) ^-1 = g ^-1 de ^-1
• f ^-1 o f = f ^-1 (f(a)) = f ^-1 (b) = un
• fof ^-1 = f(f ^-1 (b)) = f(a) = b

Ejemplos de preguntas:

Pregunta 1: Demostrar que la función f : R ⇢ R, dada por f(x) = 2x, es uno-uno y sobre.

Sol: Para uno a uno:

Let a, b ∈ R such that f(a) = f(b) then,
f(a) = f(b) 
⇒ 2a = 2b 
⇒ a = b
Therefore, f: R ⇢ R is one-one.

para sobre:

Let p be any real number in R (co-domain).
f(x) = p 
⇒ 2x = p 
⇒ x = p/2
p/2 ∈ R for p ∈ R such that f(p/2) = 2(p/2) = p 
For each p∈ R (codomain) there exists x = p/2 ∈ R (domain) such that f(x) = y
For each element in codomain has its pre-image in domain.
So, f: R ⇢ R is onto.
Since f: R ⇢ R is both one-one and onto.
f : R ⇢ R is one-one correspondent (bijective function).

Pregunta 2: Sea f : R ⇢ R ; f(x) = cos x y g : R ⇢ R ; g(x) = x ³ . Encuentra niebla y gof.

Sol: Dado que el rango de f es un subconjunto del dominio de g y el rango de g es un subconjunto del dominio de f. Entonces, tanto la niebla como el gof existen. 

gof (x) = g(f(x)) = g(cos x) = (cos x)3 = cos3x
fog (x) = f(g(x)) = f(x3) = cos x3 

Pregunta 3: Si f : Q ⇢ Q está dada por f(x) = x ² , entonces encuentre f ^-1 (16).

Sol: 

Let f-1(16) = x
f(x) = 16
x2 = 16
x = ± 4 
f-1(16) = {-4, 4}

Pregunta 4 :- Si f : R ⇢ R; f(x) = 2x + 7 es una función biyectiva entonces, encuentra la inversa de f.

Sol: Sea x ∈ R (dominio), y ∈ R (codominio) tal que f(a) = b

f(x) = y   
⇒ 2x + 7 = y
⇒ x = (y -7)/2 
⇒ f-1(y) = (y -7)/2 
Thus,  f-1 : R ⇢ R is defined as f-1(x) = (x -7)/2  for all x∈ R.

Pregunta 5: Si f : A ⇢ B y |A| = 5 y |B| = 3 luego encuentre el número total de funciones.

Sol: Número total de funciones = 3 ⁵ = 243