Funciones hiperbólicas

La función coseno hiperbólico se define como:

cosh(x) = (ex + e-x)/2

Y la función seno hiperbólico se define como:

sinh(x) = (ex - e-x)/2

De la definición anterior podemos ver las siguientes propiedades de las funciones cosh(x) y sinh(x):
cosh(x) es una función par:

cosh(-x) = (e-x + ex)/2
         = (ex + e-x)/2
         = cosh(x)

Por tanto, la función es función par.
De manera similar, el senh(x) es una función impar:

sinh(-x) = (e-x - ex)/2
         = -((ex - e-x)/2)
         = -sinh(x)

Por lo tanto, la función sinh(x) es una función impar.
Rango de cosh(x):

cosh(x) = (e-x + ex)/2

Let y = ex
So, 
cosh(x) = (y + 1/y)/2 . Now (y + 1/y) ≥ 2 for y>0.
Hence cosh(x) ≥ 1  

Por lo tanto, el rango de cosh(x) es [1, ∞).

Rango de senh(x):

sinh(x) = (ex - e-x)/2
Let sinh(x) = y.
So y = (e2x - 1)/2ex
   2yex = e2x - 1
   e2x - 2yex + 1 = 0
   x = ln(y + √(y2 + 1)) 

Claramente, dado que x está en (-∞, ∞), y tiene que estar en (-∞, ∞) para que el logaritmo anterior proporcione todos los números reales.

Analogía entre senos y cosenos hiperbólicos y senos y cosenos trigonométricos normales .

Regla de Osbourne:
Esta regla establece que las identidades trigonométricas normales en senos y cosenos siguen siendo las mismas incluso con senos y cosenos hiperbólicos, es decir, cos(x) puede reemplazarse por cosh(x) y sin(x) puede reemplazarse por sinh( x). Pero hay que recordar que cuando hay una multiplicación de dos funciones seno hay un cambio de signo en la identidad.

Por ejemplo,

sin(2A) = 2sin(A)cos(A)

Permanece igual en funciones hiperbólicas, es decir,

sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)

But,
cos(2A) = 1 - 2sin2(x)

que se convierte,

cosh(2x) = 1 + 2sinh2(x)

También hay analogía en la geometría. Mientras que (cos(t), sin(t)) representan los puntos en un círculo unitario, (cosh(x), sinh(x)) representan puntos en una hipérbola con intersección x = 1.

Identidad:

cosh2(x) - sinh2(x) = 1

Proof: 
= L.H.S 
=  ((ex + e-x)/2)2 - ((ex - e-x)/2)2
= ((e2x + e-2x + 2)/4) - ((e2x + e-2x - 2)/4) 
= 4/4
= 1

Otras funciones hiperbólicas:

tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)
coth(x) = cosh(x)/sinh(x)
cosech(x) = 1/sinh(x)
sech(x) = 1/cosh(x)

Derivadas de funciones hiperbólicas:

= d(cosh(x))/dx 
= d((ex + e-x)/2)/dx
= 1/2(d(ex + e-x)/dx)
= 1/2(ex - e-x)
= sinh(x)

Similarmente,

d(sinh(x))/dx = cosh(x)

Puedes ver la diferencia entre las derivadas de sin(x) y cos(x) y sinh(x) y cosh(x). Entonces puedes realizar cualquier operación para funciones hiperbólicas simplemente reemplazándolas con sus funciones definidas.