Funciones inversas

Procesando

sufunciónLa inversaestoessu

Si las funciones f(x) y g(x) son inversas entre sí, entonces f(x) = y solo si g(y) = x. 

g(f(x)) = x

su

cual el

• La función debe ser Biyectiva (Uno-Uno y Sobre) para que exista su inversa.

Esta función tiene los mismos valores en dos valores diferentes de entrada. Esta función no es ideal para calcular la inversa. 

• Tenemos que buscar los puntos que no están en el dominio de la inversa. Por ejemplo, en el caso anterior, no se pueden permitir valores negativos.

Inversos con métodos algebraicos

Los inversos de funciones también se pueden calcular usando métodos algebraicos. La idea es sustituir el valor de y en lugar de f(x) y luego resolver para y. Veamos un ejemplo para entenderlo. 

Ejemplo: Encuentra el inverso de f(x) = 6x + 10. 

Solución: 

Sabemos, f(x) = 6x + 10. Sustituyamos y en lugar de f(x). 

y = 6x + 10 

⇒ y – 10 = 6x 

⇒ x = 

Inversos de funciones comunes 

La siguiente tabla describe los inversos de algunas funciones comunes que pueden resultar útiles al calcular los inversos de funciones complejas. La tabla representa la función, su inversa y sus esquinas. Los casos de esquina describen los valores que no están permitidos como entrada para el inverso de la función.

Función	Inverso	Casos de esquina
Multiplicación	Dividir	No se permite dividir por cero
Dividir	Multiplicar
Suma	Sustracción
sustracciones	Suma
x norte		No se permiten valores negativos cuando n es par
una x	registrar una x	x > 0 y a > 0
pecado(x)	sen -1 (x)	Solo se permiten valores entre -1 y 1
porque(x)	porque -1 (x)	Solo se permiten valores entre -1 y 1
bronceado(x)	bronceado -1 (x)

Gráficas de Funciones Inversas

Veremos la forma de la gráfica de la inversa de una función a través de un ejemplo. Digamos que tenemos f(x) = e ^x . Digamos que la inversa de esta función es g(x), sabemos que la inversa de una función exponencial es una función logarítmica. Entonces, g(x) = log _e x. La siguiente figura muestra el gráfico de ambas funciones. 

Observe en la figura, puede ver que ambas curvas son imágenes especulares entre sí con respecto a la línea y = x. Entonces, podemos decir que la inversa de una función es una imagen especular de la función cuando se ve a través de la línea y = x. 

Veamos algunos problemas sobre estos conceptos. 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra el inverso de la función f(x) = 

Solución: 

 

Sustituyendo f(x) por y. 

⇒ 

⇒ 2xy + y = x + 4 

⇒ x(2y – 1) = 4 – y

⇒ x = 

Así, f ^-1 (y) = 

Pregunta 2: Encuentra el inverso de la función f(x) = lnx + 5. 

Solución:  

f(x) = lnx + 5 

Sustituyendo la f(x) con y 

y = lnx + 5 

⇒ lnx= y – 5

⇒ x = e ^{(y – 5)}

 f ^-1 (y) = e ^{(y – 5)}

Pregunta 3: Encuentra el inverso de la siguiente función y dibuja su gráfica. 

f(x) = e ^x + 20

Solución: 

f(x) = e ^x + 20

Sustituyendo la f(x) con y 

⇒y = e ^x + 20

⇒y – 20 = e ^x

⇒ln(y – 20) = x

f ^-1 (y) = ln(y – 20)

La siguiente figura muestra los gráficos para f(x) y su inversa. 

Observe que y > 20 para esta función. 

Pregunta 4: Indique si la afirmación es verdadera o falsa. Para la función dada f(x) = x ² + 4, la inversa no existe para todos los valores de x. 

Solución:

Sabemos que f(x) = x ² + 4 no es biyectiva. Por ejemplo, 

f(-2) = 8 y f(2) = 8. Entonces, la inversa de esta función no puede existir para todos los valores de x. Por lo tanto, esta declaración se llama Falso. 

Pregunta 5: Encuentra el inverso de la siguiente función: 

f(x) = 

Solución:

f(x) =  

Sustituyendo f(x) por y. 

⇒ 

⇒ y(5x + 1) = x 

⇒ 5xy + y = x

⇒ x(5y – 1) = -y 

⇒ x =

Así, f ^-1 (y) =