PUERTA | PUERTA CS 1996 | Pregunta 31

las arrays

conmutar bajo la multiplicación
(A) si a = b o Θ = nπ, n un número entero
(B) siempre
(C) nunca
(D) si a cosΘ = b sin Θ

Respuesta: (A)
Explicación: Para conmutatividad, AB = BA
$AB= \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&0\\ 0&b\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\cos{\theta} & -b\sin{\theta}\\ a\sin{\theta} & b\cos{\theta}\\ \end{bmatrix} \\\\ BA= \begin{bmatrix} a&0\\ 0&b\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\cos{\theta} & -a\sin{\theta}\\ b\sin{\theta} & b\cos{\theta}\\ \end{bmatrix}$
Dado que AB = BA
$\begin{bmatrix} a\cos{\theta} & -b\sin{\theta}\\ a\sin{\theta} & b\cos{\theta}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\cos{\theta} & -a\sin{\theta}\\ b\sin{\theta} & b\cos{\theta}\\ \end{bmatrix}$
Al comparar los elementos correspondientes obtenemos-
$a\sin{\theta} = b\sin{\theta}$
Lo anterior se cumple cuando, $a=b$ o $\sin{\theta} = 0$ lo cual es cierto cuando $\theta = n\pi$ .
Por lo tanto, la opción (A) es correcta.