PUERTA | PUERTA CS 1996 | Pregunta 7 – Part 3

Sea Ax=b un sistema de ecuaciones lineales donde A es una array m×n y b es un vector columna m×1 y X es un vector columna n×1 de incógnitas. ¿Cuál de las siguientes es falsa?
(A) El sistema tiene solución si y solo si, tanto A como la array aumentada [Ab] tienen el mismo rango
(B) Si m(C) Si m=n y b es un vector distinto de cero, entonces el sistema tiene una solución única
(D) El sistema solo tendrá una solución trivial cuando m=n, b es el vector cero y rango(A) = n

Respuesta: (C)
Explicación:

Las siguientes son las posibilidades para un sistema de ecuaciones lineales:

(i) Si la array A y la array aumentada [AB] tienen el mismo rango, entonces el sistema tiene soluciones; de lo contrario, no hay solución.

(ii) Si la array A y la array aumentada [AB] tienen el mismo rango que es igual al no. de variables, entonces el sistema tiene soluciones únicas y si B es un vector cero, entonces el sistema tiene solo una solución trivial. 

(iii) Si la array A y la array aumentada [AB] tienen el mismo rango, que es menor que el número de variables, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. 

Por lo tanto, la opción (C) es falsa porque si m=n y B es un vector distinto de cero, entonces no es necesario que el sistema tenga soluciones únicas, porque m es el número de ecuaciones (cantidad) y no el número de linealmente independientes. ecuaciones (calidad).

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