PUERTA | PUERTA-CS-2003 | Pregunta 31

Sea (5, ≤) un orden parcial con dos elementos mínimos a y b, y un elemento máximo c.

Let P : S → {True, False} be a predicate defined on S.
Suppose that P(a) = True, P(b) = False and 
P(x) ⇒ P(y) for all x, y ∈ S satisfying x ≤ y, 
where ⇒ stands for logical implication.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO PUEDE ser cierta?
(A) P(x) = Verdadero para todo x ∈ S tal que x ≠ b
(B) P(x) = Falso para todo x ∈ S tal que x ≠ a y x ≠ c
(C) P(x) = Falso para todo x ∈ S tal que b ≤ x y x ≠ c
(D) P(x) = Falso para todo x ∈ S tal que a ≤ x y b ≤ x

Respuesta: (D)
Explicación:
‘a’ y ‘ b’ se dan como elementos mínimos. Ningún otro elemento en S es de orden inferior a a o b.
‘c’ se da como elemento máximo. Entonces, c es de orden más alto que cualquier otro elemento en S.

P(a) = Verdadero significa que todos los elementos ‘x’ que tienen un borde del elemento ‘a’ tienen que ser verdaderos.
Dado que hay una arista desde ‘a’, tenemos que satisfacer la fórmula P(a) => P(x), que solo se puede hacer estableciendo
P(x) = True.

Los elementos que tienen una arista desde b pueden ser cualquier cosa porque la fórmula P(b) => P(x) se cumple como P(b) = Falso.

(A) Esta afirmación es verdadera porque hacer que todos los elementos sean verdaderos cumple trivialmente la fórmula P(x) => P(y).

(B) Esta afirmación es verdadera si todos los elementos están conectados desde b, entonces todos los elementos pueden ser falsos.

(C) Esta afirmación es verdadera porque b<=x asegura x!=a y para todos los demás elementos P(x) puede ser falso sin violar la implicación dada.

(D) Esta afirmación es falsa. Dado que, P(a) = verdadero, para todo ‘x’ tal que a<=x, P(x) debe ser verdadero. Tenemos al menos una de esas ‘x’, que es ‘c’ ya que es el elemento máximo.

 
Por lo tanto, la opción (D) es la respuesta.

 
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