PUERTA | PUERTA-CS-2004 | Pregunta 80

Se selecciona aleatoriamente un punto con probabilidad uniforme en el plano XY dentro del rectángulo con esquinas en (0,0), (1,0), (1,2) y (0,2). Si p es la longitud del vector de posición del punto, el valor esperado de p ² es

(A) 2/3
(B) 1
(C) 4/3
(D) 5/3

Respuesta: (D)
Explicación: Aquí el valor mínimo de p puede ser 0 (si el punto elegido es (0,0), entonces la longitud del vector de posición será 0), y el valor máximo puede ser 5√ cuando el punto elegido es (1,2), porque ese es el punto más alejado del origen. Entonces p puede variar de 0 a 5√.
Ahora sabemos que

$E(p^2) = \int^\sqrt{5}_0 p^2*P(p)\,dp$

Dado que p es una variable aleatoria uniforme, la opción $P(p) = \frac{1}{\sqrt{5}-0} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
So
$E(p^2) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\frac{p^3}{3}\right]^{\sqrt{5}}_0 = \frac{5}{3}$
So (D) es correcta.

Fuente: http://www.cse.iitd.ac.in/~mittal/gate/gate_math_2004.html
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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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