F es una array real de n*n. b es un vector real n*1. Supongamos que hay dos vectores n*1, u y v tales que, u ≠ v y Fu = b, Fv = b. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
(A) El determinante de F es cero.
(B) Hay un número infinito de soluciones para Fx = b
(C) Hay una x≠0 tal que Fx = 0
(D) F debe tener dos filas idénticas
Respuesta: (D)
Explicación: Dado que Fu = b, y también Fv = b, por lo que tenemos (Fu – Fb) = 0, es decir, F(uv) = 0. Dado que u≠v, F es una array singular, es decir, su determinante es 0. Ahora, para una array singular F, Fx = b no tiene solución o tiene infinitas soluciones, pero como ya tenemos dos soluciones u y v para x, Fx = b tiene que tener infinitas soluciones.
Además, por definición de array singular, existe una x≠0 tal que Fx = 0 .
Entonces las opciones (A), (B) y (C) son verdaderas. La opción (D) es falsa porque puede que no sea necesario que dos filas sean idénticas, en cambio, dos columnas pueden ser idénticas y entonces podemos obtener F como array singular.
Entonces la opción (D) es la respuesta correcta.
Fuente: http://www.cse.iitd.ac.in/~mittal/gate/gate_math_2006.html
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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA