PUERTA | PUERTA-CS-2009 | Pregunta 1 – Part 2

¿Cuál de las siguientes NO es necesariamente una propiedad de un Grupo?
(A) Conmutatividad
(B) Asociatividad
(C) Existencia de inverso para todo elemento
(D) Existencia de identidad

Respuesta: (A)
Explicación: Un grupo es un conjunto, G, junto con una operación • (llamada ley de grupo de G ) que combina dos elementos cualesquiera a y b para formar otro elemento, denotado a • b o ab. Para calificar como grupo, el conjunto y la operación, (G, •), deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como axiomas de grupo:

Cierre
Para todo a, b en G, el resultado de la operación, a • b, también está en Gb

Asociatividad
Para todo a, b y c en G, (a • b) • c = a • (b • c).

Elemento de identidad
Existe un elemento e en G, tal que para cada elemento a en G, se cumple la ecuación e • a = a • e = a. Tal elemento es único (ver más abajo), y por lo tanto se habla del elemento de identidad.

Elemento inverso
Para cada a en G, existe un elemento b en G tal que a • b = b • a = e, donde e es el elemento identidad.
El resultado de una operación puede depender del orden de los operandos. En otras palabras, el resultado de combinar el elemento a con el elemento b no tiene por qué producir el mismo resultado que combinar el elemento b con el elemento a; la ecuacion

a • b = b • a
puede no ser siempre cierto. Esta ecuación siempre se cumple en el grupo de enteros bajo la suma, porque a + b = b + a para dos enteros cualesquiera (conmutatividad de la suma). Los grupos para los que la ecuación de conmutatividad a • b = b • a siempre se cumple se denominan grupos abelianos (en honor a Niels Abel)

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
Cuestionario de esta pregunta