PUERTA | PUERTA CS 2013 | Pregunta 1 – Part 1

Una operación binaria sobre un conjunto de enteros se define como x y = x ² + y ² . ¿Sobre cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA ?
(A) Conmutativo pero no asociativo
(B) Tanto conmutativo como asociativo
(C) Asociativo pero no conmutativo
(D) Ni conmutativo ni asociativo

Respuesta: (A)
Explicación:

Asociatividad:

Se dice que una operación binaria ∗ sobre un conjunto S es asociativa si cumple la ley asociativa:

a ∗ (b ∗c) = (a ∗b) ∗c para todo a, b, c ∈S.

Conmutatividad:

Se dice que una operación binaria ∗ en un conjunto S es conmutativa si cumple la condición:

a ∗b=b ∗a para todo a, b, ∈S.

En este caso, el orden en que se combinan los elementos no importa.

Solución:

Aquí, una operación binaria en un conjunto de números enteros se define como x⊕ y = x2 + y2.
para conmutatividad: x ⊕y= y ⊕x.

LHS=> x ⊕y= x^2+ y^2
RHS=> y ⊕x= y^2+x^2
LHS = RHS. por lo tanto conmutativo.

para Asociatividad: x ⊕ (y ⊕ z) =(x ⊕ y) ⊕ z

LHS=> x ⊕ (y⊕ z) = x ⊕ (y^2+z^2)= x^2+(y^2+z^2)^2

RHS=> (x ⊕y) ⊕z= (x^2+y^2) ⊕z=(x^2+y^2)^2+z^2

Entonces, LHS ≠ RHS, por lo tanto, no asociativo.

Referencia:
http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg3.pdf

Esta solución es aportada por Nitika Bansal

Otra solución:
conmutativa como x y siempre es igual a y x.

is not associative as (xy)z is (x^2 + y^2)^2 + z^2, but x(yz) is x^2 + (y^2 + z^2)^2.

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