PUERTA | GATE-CS-2014-(Conjunto-3) | Pregunta 59

Hay dos elementos x, y en un grupo (G,∗) tales que cada elemento en el grupo puede escribirse como un producto de algún número de x e y en algún orden. Se sabe que

  x ∗ x = y ∗ y = x ∗ y ∗ x ∗ y = y ∗ x ∗ y ∗ x = e

donde e es el elemento de identidad. El número máximo de elementos en dicho grupo es __________.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5

Respuesta: (C)
Explicación:

x * x = e, x is its own inverse
y * y = e, y is its own inverse

(x*y) * (x* y) = e, x*y is its own inverse

(y*x) * (y*x) = e, y*x is its own inverse
also x*x*e = e*e can be rewritten as follows

x*y*y*x = e*y*y*e = e, (Since y *y = e)

(x*y) * (y*x) = e shows that (x *y) and (y *x)
are each other’s inverse and we already know that
(x*y) and (y*x) are inverse of its own.

As per (G,*) to be group any element should have
only one inverse element (unique)

This implies x*y = y*x (is one element)

So the elements of such group are 4 which are
{x, y, e, x*y}.

Consulte la siguiente definición de grupo de wikipedia.

Un grupo es un conjunto, G, junto con una operación • (llamada ley de grupo de G) que combina dos elementos cualesquiera a y b para formar otro elemento, denotado a • b o ab. Para calificar como grupo, el conjunto y la operación, (G, •), deben satisfacer cuatro requisitos conocidos como axiomas de grupo:[5]

Cierre Para todo a, b en G, el resultado de la operación, a • b, también está en Gb[›]
Asociatividad Para todo a, b y c en G, (a • b) • c = a • (b • C).
Elemento de identidad Existe un elemento e en G, tal que para cada elemento a en G, se cumple la ecuación e • a = a • e = a. Tal elemento es único (ver más abajo), y por lo tanto se habla del elemento de identidad.
Elemento inverso Para cada a en G, existe un elemento b en G tal que a • b = b • a = e, donde e es el elemento identidad.

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29
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