PUERTA | PUERTA CS 2019 | Pregunta 17

Sea G un grupo arbitrario. Considere las siguientes relaciones en G:

• R ₁ : ∀a, b ∈ G, aR ₁ b si y solo si ∃g ∈ G tal que a = g ⁻¹ bg
• R ₂ : ∀a, b ∈ G, aR ₂ b si y solo si a = b ⁻¹

¿Cuál de las anteriores es/son relación/relaciones de equivalencia?
(A) R ₁ y R ₂
(B) R ₁ solamente
(C) R ₂ solamente
(D) Ni R ₁ ni R ₂

Respuesta: (B)
Explicación: Dado que R ₁ es una relación de equivalencia, porque satisface la relación reflexiva, simétrica , y condiciones transitivas:

• Reflexiva: a = g ^–1 ag se puede satisfacer poniendo g = e, la identidad “e” siempre existe en un grupo.
• Simétrico:

  aRb ⇒ a = g–1bg for some g
  ⇒ b = gag–1 = (g–1)–1ag–1
  g–1 always exists for every g ∈ G. 

• Transitivo:

  aRb and bRc ⇒ a = g1–1bg1 
  and b = g2–1 cg2 for some g1g2 ∈ G.
  Now a = g1–1 g2–1 cg2g1 = (g2g1)–1 cg2g1
  g1 ∈ G and g2 ∈ G ⇒ g2g1 ∈ G 
  since group is closed so aRb and aRb ⇒ aRc
  
  

R ₂
no es equivalencia porque no satisface la condición reflexiva de la relación de equivalencia:

aR2a ⇒ a = a–1 ∀a which not be true in a group. 

Entonces, la opción (B) es correcta.
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