PUERTA | PUERTA CS 2021 | Conjunto 1 | Pregunta 45

Considere las dos declaraciones.

S1: Existen variables aleatorias X e Y tales que

S2: Para todas las variables aleatorias X y

¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?
(A) Tanto S1 como S2 son verdaderos
(B) S1 es verdadero, pero S2 es falso
(C) S1 es falso, pero S2 es verdadero
(D) Tanto S1 como S2 son falsos

Respuesta: (D)
Explicación: Teorema: Cuadrado de la covarianza es menor o igual que el producto de las varianzas.

Sean X e Y variables aleatorias.
Deje que las varianzas de X e Y existan y sean finitas.
Entonces:
(cov(X,Y)) ² ≤ var(X)var(Y)
donde cov(X,Y) denota la covarianza de X e Y.

Prueba:
Tenemos, por la definición de varianza, que ambos:

E((X−E(X)) ² )
y:
E((Y−E(Y)) ² )
existen y son finitas.

Por lo tanto:

(cov(X,Y)) ² = (E((X−E(X))(Y−E(Y)))) ²
Definición de covarianza
(cov(X,Y)) ² ≤ E((X− E(X)) ² )E((Y−E(Y)) ² )
El cuadrado de la expectativa del producto es menor o igual que el producto de la expectativa de los cuadrados
(cov(X,Y)) ² = var(X)var (Y)
Definición de Varianza.

Por lo tanto, tanto el enunciado dado (S1) como el (S2) son falsos.
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