Se dice que una relación R es circular si aRb y bRc juntos implican cRa.
¿Cuál de las siguientes opciones es/son correctas?
(A) Si una relación S es reflexiva y simétrica, entonces S es una relación de equivalencia.
(B) Si una relación S es circular y simétrica, entonces S es una relación de equivalencia.
(C) Si una relación S es reflexiva y circular, entonces S es una relación de equivalencia.
(D) Si una relación S es transitiva y circular, entonces S es una relación de equivalencia.
Respuesta: (C)
Explicación: Si R es circular y reflexiva, entonces R es una relación de equivalencia sobre A.
Prueba:
Suponga que R es circular y reflexivo. Queremos demostrar que R es una relación de equivalencia.
Ya sabemos que R es reflexivo, por lo que debemos demostrar que R es simétrico y transitivo.
Por simetría, suponga que x, y ∈ A de modo que xRy. Queremos demostrar que yRx.
Como R es reflexivo y y ∈ A, sabemos que yRy.
Como R es circular y xRy e yRy, sabemos que yRx.
Por lo tanto, R es simétrico.
Para la transitividad, suponga que x, y, z ∈ A de modo que xRy e yRz. Queremos demostrar que xRz.
Como R es circular y xRy y yRz, sabemos que zRx.
Como ya demostramos que R es simétrica, zRx implica que xRz. Por tanto, R es transitiva.
Por tanto, R es una relación de equivalencia.
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Artículo escrito por GeeksforGeeks-1 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA