PUERTA | PUERTA CS Simulacro 2018 | Pregunta 1 – Part 2

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(n) correcta(s)?

1. 1 es el resto cuando 7^700 se divide por 100.
2. 1 es el resto cuando 7^26 se divide por 100.
3. 2 es el resto cuando 7^35 se divide por 13.

(A) Solo (1)
(B) Solo (2)
(C) Solo (1) y (3)
(D) Todos (1), (2) y (3)

Respuesta: (C)
Explicación:

1. (7^700) módulo 100 = 7^(700 módulo 100) = 7^0 = 1.
2. Los últimos dos dígitos de 7^1 son 07 Los
   últimos dos dígitos de 7^2 son 49 Los
   últimos dos dígitos de 7^3 son 43 Los
   últimos dos dígitos de 7^4 son 01.
   Este ciclo es 7, 9, 3, 1, 7, 9, …

   Y, 26 mod 4 = 2.
   Por lo tanto, 7^26 = 7^(4n+2) terminará en 49.
   → 7^26 mod 100 = 7^2 mod 100 = 49.

3. (7^35) módulo 13 = ((7^12)*(7^12)*(7^11)) módulo 13

   A^(P-1)/P (donde A es cualquier número natural y P es cualquier número primo que no es un factor de A) dará resto 1.
   Por lo tanto,
   (7^12) mod 13 = 1
   Entonces,
   → (1*1*(7^11)) módulo 13
   → (7^11) módulo 13
   → ((7)*(7^10)) módulo 13
   → ((7)*((7^2)^5) ) módulo 13
   → ((7)*(49^5)) módulo 13
   → ((7)*((39+10)^5)) módulo 13
   → ((7)*(10^5)) módulo 13
   → ((7)*(100*100*10)) módulo 13
   → ((7)*(9*9*10)) módulo 13
   → 2

Por lo tanto, solo las afirmaciones (1) y (3) son correctas.
La opción (C) es verdadera.
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