Hay 100 estudiantes. 85 eligen Matemáticas, 80 eligen Física, 75 eligen Química, 70 eligen Biología. ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que eligen las 4 materias? Suponga que cada estudiante eligió al menos una materia.
(A) 15
(B) 10
(C) 5
(D) Los datos son insuficientes
Respuesta: (B)
Explicación: Sean A,B,C,D ⊂ {1,2,…,100} los cuatro conjuntos, con | A| = 85, |B| = 80, |C| = 75, |D| = 70. Entonces queremos el tamaño mínimo de (A∩B∩C∩D). Combinando el hecho de que
|A∩B∩C∩D| = 100 − |A’∪B’∪C’∪D’|
donde A’ se refiere al complemento A, junto con el hecho de que para cualquier conjunto |X∪Y|≤|Y|+|X| vemos que
|A∩B∩C∩D| ≥ 100 − |A’|−|B’|−|C’|−|D’| = 10.
Entonces, la opción (B) es correcta.l
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