PUERTA | Sudo GATE 2020 Mock I (27 de diciembre de 2019) | Pregunta 30

Si el polinomio característico de una array M de 3 × 3 sobre R (el conjunto de números reales) es λ ³ – 5λ ² + aλ + 24, donde a ∈ R, y un valor propio de M es 3, entonces los valores propios más pequeños y más grandes de M son __________ .
(A) -4 y -2 respectivamente.
(B) -4 y 2 respectivamente.
(C) -2 y 4 respectivamente.
(D) 2 y 4 respectivamente.

Respuesta: (C)
Explicación: f(λ) = λ ³ – 5λ ² + aλ + 24

Ahora 3 es una de las raíces de esta ecuación. Asi que,

33 - 5 x 32 + a x 3 + 24 = 0
27 - 45 + 3a + 24 = 0
3a + 6 = 0
a = -2 

Entonces, la ecuación es,

λ3 – 5λ2 + -2λ + 24 

Ahora, por división de polinomios obtenemos,

(λ3 – 5λ2 + -2λ) + 24 / (λ - 3) = λ2 - 2λ-8 

Ahora encuentra las raíces de,

λ2 - 2λ - 8 = 0
λ2 - 4λ + 2λ - 8 = 0
λ(λ - 4 ) + 2(λ - 4) = 0
(λ - 4)(λ + 2) = 0
λ = 4 , -2 

Entonces, los valores propios son -2, 3 y 4. Los valores propios más pequeños y más grandes de M son -2 y 4 respectivamente.

La opción (C) es correcta.
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