Gráficos por computadora: transformación compuesta 3D

Tipos de transformación:

Transformación de traducción
Transformación de escala
Transformación de rotación
Transformación de corte
Transformación de reflexión

Nota: si se nos pide que realicemos tres o más tipos diferentes de transformaciones sobre un punto (P ₀ ) simultáneamente que se coloca en el espacio 3D, y supongamos que estas transformaciones son T ₁ , T ₂ y T ₃ respectivamente, entonces en este caso que haremos?

Entonces, veremos las siguientes soluciones.

a) Obviamente, primero aplicando series de Transformaciones una por una sobre las coordenadas del objeto secuencialmente.

Primero realizamos la transformación T _1, luego P _o se transforma en P _1.

En segundo lugar, realizamos la transformación T ₂y el punto P ₁ se transforma en P _2.

Por último, realizamos la transformación T ₃ y obtenemos el resultado final, es decir; P _3, y obtendremos nuestra última coordenada del punto transformado (P ₃ ).

b) Segunda solución, aplicando transformación Compuesta en un solo disparo.

$\mathbf{P_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=P_0[x_0\hspace{0.2cm}y_0\hspace{0.2cm}z_0\hspace{0.2cm}1].T_1} \newline \hspace{5.87cm}\mathbf{P_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[x_1\hspace{0.2cm}y_1\hspace{0.2cm}z_1]} \\ \hspace{4.37cm}\mathbf{P_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=P_1[x_1\hspace{0.2cm}y_1\hspace{0.2cm}z_1\hspace{0.2cm}1].T_2} \newline \hspace{5.87cm}\mathbf{P_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[x_2\hspace{0.2cm}y_2\hspace{0.2cm}z_2]} \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{P_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=P_2[x_2\hspace{0.2cm}y_2\hspace{0.2cm}z_2\hspace{0.2cm}1].T_3} \newline \hspace{5.87cm}\mathbf{P_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[x_3\hspace{0.2cm}y_3\hspace{0.2cm}z_3]}\\ \textbf {But the idea that is concerned in Composite Transformation is} \newline \textbf{slightly different, that we'll discuss in detail in the following article.}$

Nota: Aquí T ₁ , T ₂ , T ₃ corresponden a su condición de array de transformación.

Como su propio nombre sugiere compuesto, aquí componemos dos o más de dos transformaciones juntas y calculamos una array de transformación resultante (R) multiplicando todas las condiciones de array de transformación correspondientes entre sí.

El mismo resultado equivalente que obtuvimos sobre el punto P ₀ y lo transformamos en P ₃ en el ejemplo anterior también se puede lograr multiplicando directamente la resultante R con el punto P ₀ en lugar de realizar las transformaciones T ₁ , T ₂ y T ₃ secuencialmente uno luego de una.

$\mathbf{R=[T_1*T_2*T_3]} \newline \hspace{4.37cm}\mathbf{P_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=P_0[x_0\hspace{0.2cm}y_0\hspace{0.2cm}z_0\hspace{0.2cm}1].R} \\ \hspace{5.87cm}\mathbf{P_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[x_3\hspace{0.2cm}y_3\hspace{0.2cm}z_3]}$

Y terminamos con el mismo resultado equivalente que obtuvimos en nuestro ejemplo anterior.

Problema: Considere que tenemos un paralelepípedo «OABCDEFG» sobre el que queremos realizar

Transformación de traslación (T ₁ ) si las distancias de traslación son D _x =2, D _y =3, D _z =2 ,entonces
Transformación de escala (T ₂ ) si los factores de escala son s _x = 2, s _y = 1, s _z = 3 y, por último, realiza,
Transformación de corte (T ₃ ) en la dirección x si los factores de corte son s _y =2 y s _z =1.

Solución: Nos dan el siguiente paralelepípedo

Figura 1

Primero, realizamos la transformación de traducción T1:

La array de transformación de traducción se muestra como:

$\mathbf{T_1=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\D_x&D_y&D_z&1\end{matrix}\right]}\\ \mathbf{Where \hspace{0.2cm}D_x=2,D_y=3\hspace{0.2cm} and\hspace{0.2cm} D_z=3\hspace{0.2cm} are\hspace{0.2cm}translation\hspace{0.2cm} distances.}$ [Tex]\hspace{4.37cm}\mathbf{T_1=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\D_x&D_y&D_z&1\end{matrix}\right]}\\ \mathbf{Where \hspace{0.2cm}D_x=2,D_y=3\hspace{0.2cm} and\hspace{0.2cm} D_z=3\hspace{0.2cm} are\hspace{0.2cm}translation\hspace{0.2cm} distances.} [/Tex]

Ahora aplique esta condición de array de transformación de traslación sobre las coordenadas:

Para la coordenada O[0 0 0], la nueva coordenada traducida sería O ₁ :

$\mathbf{O_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=O[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{O_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}2]}$

Para la coordenada A[0 0 4], la nueva coordenada traducida sería A ₁ :

$\mathbf{A_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=A[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{A_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6]}$

Para la coordenada B[0 4 2], la nueva coordenada traducida sería B ₁ :

$\mathbf{B_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=B[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[2\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{B_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[2\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}4]}$

Para la coordenada C[2 4 0], la coordenada recién traducida sería C ₁ :

$\mathbf{C_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=C[2\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[4\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{C_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}2]}$

Para la coordenada D[2 2 4], la nueva coordenada traducida sería D ₁ :

$\mathbf{D_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=D[2\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{D_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}6]}$

Para la coordenada E[2 0 0], la nueva coordenada traducida sería E ₁ :

$\mathbf{E_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=E[2\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{E_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}2]}$

Para la coordenada F[0 0 2], la nueva coordenada traducida sería F ₁ :

$\mathbf{F_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=F[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{F_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}4]}$

Para la coordenada G[2 0 2], la nueva coordenada traducida sería G ₁ :

$\mathbf{G_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=G[2\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{G_1[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}4]}$

Figura 2

En segundo lugar, se dice que realizamos la transformación de escala T ₂ :

La array de transformación de escala se muestra como:

$\hspace{4.37cm}\mathbf{T_2=\left[\begin{matrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\D_x&D_y&D_z&1\end{matrix}\right]}\\ \mathbf{Where \hspace{0.2cm}s_x=2,s_y=1\hspace{0.2cm} and\hspace{0.2cm} s_z=3\hspace{0.2cm} are\hspace{0.2cm}Scaling\hspace{0.2cm}parameter.}$

Ahora aplique esta condición de array de transformación de escala sobre las coordenadas:

Para la coordenada O ₁ [2 3 2], la nueva coordenada escalada sería O ₂ :

$\mathbf{O_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=O_1[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{O_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6]}$

Para la coordenada A ₁ [2 3 6], la nueva coordenada escalada sería A ₂ :

$\mathbf{A_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=A_1[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}18\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{A_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}18]}$

Para la coordenada B ₁ [2 7 4], la nueva coordenada escalada sería B ₂ :

$\mathbf{B_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=B_1[2\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}12\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{B_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}12]}$

Para la coordenada C ₁ [4 7 2], la nueva coordenada escalada sería C ₂ :

$\mathbf{C_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=C_1[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{C_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}6]}$

Para la coordenada D ₁ [4 5 6], la nueva coordenada escalada sería D ₂ :

$\mathbf{D_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=D_1[4\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}18\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{D_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}18]}$

Para la coordenada E ₁ [4 3 2], la nueva coordenada escalada sería E ₂ :

$\mathbf{E_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=E_1[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{E_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6]}$

Para la coordenada F ₁ [2 3 4], la nueva coordenada escalada sería F ₂ :

$\mathbf{F_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=F_1[2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}12\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{F_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}12]}$

Para la coordenada G ₁ [4 3 4], la nueva coordenada escalada sería G ₂ :

$\mathbf{G_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=G_1[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}12\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{G_2[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}12]}$

Fig. 3

Por último, realizamos la transformación de corte T ₃ en la dirección x:

La array de transformación de corte para la dirección x se muestra como:

$\hspace{4.37cm}\mathbf{T_3=\left[\begin{matrix}1&sh_y&sh_z&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \mathbf{Where \hspace{0.2cm}sh_y=2\hspace{0.2cm}and\hspace{0.2cm}sh_z=1\hspace{0.2cm}are\hspace{0.2cm}Shearing\hspace{0.2cm}parameter.}$

Ahora, aplique esta condición de array de transformación de corte sobre las coordenadas:

Para la coordenada O ₂ [4 3 6], la nueva coordenada escalada sería O ₃ :

$\mathbf{O_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=O_2[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}10\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{O_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}10]}$

Para la coordenada A ₂ [4 3 18], la nueva coordenada escalada sería A ₃ :

$\mathbf{A_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=A_2[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}18\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}22\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{A_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}22]}$

Para la coordenada B ₂ [4 7 12], la nueva coordenada escalada sería B ₃ :

$\mathbf{B_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=B_2[4\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}12\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}15\hspace{0.2cm}16\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{B_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}15\hspace{0.2cm}16]}$

Para la coordenada C ₂ [8 7 6], la nueva coordenada escalada sería C ₃ :

$\mathbf{C_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=C_2[8\hspace{0.2cm}7\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}23\hspace{0.2cm}14\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{C_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}23\hspace{0.2cm}14]}$

Para la coordenada D ₂ [8 5 18], la nueva coordenada escalada sería D ₃ :

$\mathbf{D_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=D_2[8\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}18\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}21\hspace{0.2cm}26\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{D_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}21\hspace{0.2cm}26]}$

Para la coordenada E ₂ [8 7 6], la nueva coordenada escalada sería E ₃ :

$\mathbf{E_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=E_2[8\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}6\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}14\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{E_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}14]}$

Para la coordenada F ₂ [4 3 12], la nueva coordenada escalada sería F ₃ :

$\mathbf{F_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=F_2[4\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}12\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}16\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{F_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}16]}$

Para la coordenada G ₂ [8 3 12], la nueva coordenada escalada sería G ₃ :

$\mathbf{G_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=G_2[8\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}12\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}20\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{G_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}20]}$

Finalmente, obtenemos nuestro objeto inclinado redimensionado en la dirección x después de realizar las transformaciones T ₁ , T ₂ y T ₃ .

Figura 4

Solución a través de Transformación Compuesta

El resultado final, que obtuvimos arriba para el cuboide «OABCDEF» al aplicar la transformación T ₁ , T ₂ y T ₃ una tras otra en orden secuencial, también se podría obtener el mismo resultado equivalente utilizando el concepto de Transformación compuesta. Para realizar la transformación compuesta, primero debemos calcular la array de transformación resultante (R) combinando todas las representaciones de array de transformación distinguidas.

La array de transformación resultante se calcularía de la siguiente manera:

La transformación resultante se calculará multiplicando la array de transformación de traducción con la array de transformación de escala y la multiplicación resultante (R ₂ ) de ambas se multiplicará por la última array de transformación de corte dada.

$\hspace{4.37cm}\mathbf{R_2=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\2&3&2&1\end{matrix}\right]*\mathbf{\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}} \\ \newline\hspace{4.37cm}\mathbf{R_2=\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&3&6&1\end{matrix}\right]}\\$

Ahora, multiplique R2 con la array de transformación de corte para obtener la resultante R:

$\mathbf{R=R_2*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\\hspace{2.87cm}\mathbf{R=\left[\begin{matrix}2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&3&6&1\end{matrix}\right]*\left[\begin{matrix}1&2&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right]}\\ \newline \hspace{4.15cm} \mathbf{R=\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}$ \

Ahora, aplique esta condición de array de transformación resultante sobre las coordenadas:

Para la coordenada O[0 0 0], la nueva coordenada escalada sería O ₃ :

$\mathbf{O_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=O[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}10\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{O_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}10]}$

Para la coordenada A[0 0 4], la nueva coordenada escalada sería A ₃ :

$\mathbf{A_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=A[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}22\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{A_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}22]}$

Para la coordenada B[0 4 2], la nueva coordenada escalada sería B ₃ :

$\mathbf{B_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=B[0\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[4\hspace{0.2cm}15\hspace{0.2cm}16\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{B_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}15\hspace{0.2cm}16]}$

Para la coordenada C[2 4 0], la nueva coordenada escalada sería C ₃ :

$\mathbf{C_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=C[2\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}23\hspace{0.2cm}14\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{C_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}23\hspace{0.2cm}14]}$

Para la coordenada D[2 2 4], la nueva coordenada escalada sería D ₃ :

$\mathbf{D_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=D[2\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}4\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}21\hspace{0.2cm}26\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{D_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}21\hspace{0.2cm}26]}$

Para la coordenada E[2 0 0], la nueva coordenada escalada sería E ₃ :

$\mathbf{E_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=E[2\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \\\hspace{6.52cm} \mathbf{=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}14\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{E_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}14]}$

Para la coordenada F[0 0 2], la nueva coordenada escalada sería F ₃ :

$\mathbf{F_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=F[0\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}16\hspace{0.2cm}1]} \\\hspace{4.15cm} \mathbf{F_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[4\hspace{0.2cm}11\hspace{0.2cm}16]}$

Para la coordenada G[2 0 2], la nueva coordenada escalada sería G ₃ :

$\mathbf{G_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z\hspace{0.2cm}1]=G[2\hspace{0.2cm}0\hspace{0.2cm}2\hspace{0.2cm}1]*\left[\begin{matrix}2&4&2&0\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\4&11&10&1\end{matrix}\right]}\\ \\ \hspace{6.52cm}\mathbf{=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}20\hspace{0.2cm}1]} \\ \hspace{4.15cm}\mathbf{G_3[x\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm}z]=[8\hspace{0.2cm}19\hspace{0.2cm}20]}$

Aquí, obtenemos nuestro resultado final en una sola toma:

Figura 5

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por madhav_mohan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Para la coordenada O[0 0 0], la nueva coordenada traducida sería O 1 :

Para la coordenada A[0 0 4], la nueva coordenada traducida sería A 1 :

Para la coordenada B[0 4 2], la nueva coordenada traducida sería B 1 :

Para la coordenada C[2 4 0], la coordenada recién traducida sería C 1 :

Para la coordenada D[2 2 4], la nueva coordenada traducida sería D 1 :

Para la coordenada E[2 0 0], la nueva coordenada traducida sería E 1 :

Para la coordenada F[0 0 2], la nueva coordenada traducida sería F 1 :

Para la coordenada G[2 0 2], la nueva coordenada traducida sería G 1 :

En segundo lugar, se dice que realizamos la transformación de escala T 2 :

Para la coordenada O 1 [2 3 2], la nueva coordenada escalada sería O 2 :

Para la coordenada A 1 [2 3 6], la nueva coordenada escalada sería A 2 :

Para la coordenada B 1 [2 7 4], la nueva coordenada escalada sería B 2 :

Para la coordenada C 1 [4 7 2], la nueva coordenada escalada sería C 2 :

Para la coordenada D 1 [4 5 6], la nueva coordenada escalada sería D 2 :

Para la coordenada E 1 [4 3 2], la nueva coordenada escalada sería E 2 :

Para la coordenada F 1 [2 3 4], la nueva coordenada escalada sería F 2 :

Para la coordenada G 1 [4 3 4], la nueva coordenada escalada sería G 2 :

Para la coordenada O 2 [4 3 6], la nueva coordenada escalada sería O 3 :

Para la coordenada A 2 [4 3 18], la nueva coordenada escalada sería A 3 :

Para la coordenada B 2 [4 7 12], la nueva coordenada escalada sería B 3 :

Para la coordenada C 2 [8 7 6], la nueva coordenada escalada sería C 3 :

Para la coordenada D 2 [8 5 18], la nueva coordenada escalada sería D 3 :

Para la coordenada E 2 [8 7 6], la nueva coordenada escalada sería E 3 :

Para la coordenada F 2 [4 3 12], la nueva coordenada escalada sería F 3 :

Para la coordenada G 2 [8 3 12], la nueva coordenada escalada sería G 3 :

Finalmente, obtenemos nuestro objeto inclinado redimensionado en la dirección x después de realizar las transformaciones T 1 , T 2 y T 3 .