Prerrequisito – Álgebra GRE | Geometría coordinada
La geometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones entre puntos, líneas, sólidos, superficies y objetos de grandes dimensiones.
La geometría de coordenadas es la rama de las matemáticas que se ocupa de las figuras bidimensionales, es decir, el eje x y el eje y en el plano. El eje X representa el plano horizontal, mientras que el eje Y representa el plano vertical.
Ejemplo: un punto se denota mediante una combinación del eje X y el eje Y. Los puntos M, N y L son todos puntos indicados en un plano bidimensional con valores X e Y. M, N y L tienen 2, -2 y -3 respectivamente como valores del eje X, mientras que 1,5, -3 y 1,5 respectivamente como valores del eje Y.
Numero de linea :
La recta numérica es una regla que aumenta en ambas direcciones según nuestra elección de medida. En la recta numérica, podemos decir dónde se ubica cualquier número con respecto al origen.
Representación de un número en una recta numérica. 2 está representado en el eje x 2 puntos a la derecha del origen.
El número se puede representar tanto en el eje, el eje X y el eje Y.
Representando los valores del eje X:
Representando los valores del eje Y:
Representación del rango: si un número es positivo, podemos representarlo como se muestra en la siguiente figura.
Plano de cuadrante: los valores de X e Y determinan el cuadrante diferente en el que se encuentra el punto. Hay cuatro cuadrantes sobre la base de diferentes combinaciones de valores de x e y.
- 1er Cuadrante = X > 0: Y > 0;
- 2do Cuadrante = X < 0: Y > 0;
- 3er Cuadrante = X < 0; Y < 0;
- 4º Cuadrante = X > 0; Y < 0;
Líneas en el plano:
La relación entre dos xey tiene una ecuación como 2x + 4 = 8y, se forma una línea. También se puede generalizar en forma de:
y = mx + c m and c represent constant numbers. These are also called linear equation
Pendiente de la línea:
En la ecuación y = mx + c, se llama m a la pendiente de la ecuación.
m = Numerator / Denominator = Rise / Run = Change in Y /Change in X
Pendiente positiva: cuando m > 0
Pendiente negativa : cuando m < 0
Intersección de una línea:
Un punto donde un eje de coordenadas es intersecado por una línea se llama intersección.
Hay dos tipos de intersección:
- Intersección en X:
es donde la línea intercepta el eje x. El intercepto en X es un punto en la línea donde el valor de Y es cero. En el diagrama que se muestra a continuación (-4, 0) es el -4 es la intersección x. - Intersección en Y:
es donde la línea intercepta el eje y. El intercepto en Y es un punto en la línea donde el valor de x es cero. En el diagrama que se muestra a continuación (-0, 6) el 6 es el intercepto en y.
Distancia entre dos puntos:
El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la distancia entre dos puntos.
Por ejemplo, ¿cuál es la distancia entre (1,3) y (7,-5)
Pasos para hallar la distancia entre dos puntos:
- Dibuja un triángulo rectángulo conectando los puntos.
- Encuentra la longitud de dos triángulos calculando la carrera y la elevación
- El aumento es igual al cambio en el eje y = 3 – (-5) = 8 (tramo vertical)
- Correr es igual al cambio en el eje x = 7 -1 = 6 (Tramo horizontal)
- Use el teorema de Pitágoras para calcular la distancia que es la diagonal que se muestra en el diagrama de triángulo de ángulo recto, es decir, c
- 6 2 + 8 2 = c 2
- 36 + 64 = c 2
- 100 = do 2
- c = 10
La distancia entre los dos puntos es de 10 unidades.
Intersección de dos líneas:
La línea en el plano de coordenadas es la relación entre dos x y y tiene una ecuación como 2x + 4 = 8y.
Values of x and y satisfy this equation like (2,1) 2x + 4 = 8y (2,1) 2*2 + 4 = 8*1 4 + 4 = 8 8 = 8 LHS is equal to RHS On the other hand point (3,1) doesn't lie on the line. 2*3 + 4 = 8*1 6 + 4 = 8 10 = 8 LHS is not equal to RHS
Entonces, ¿qué queremos decir cuando dos líneas se cruzan en el plano de coordenadas? Dos líneas se cruzan en un plano de coordenadas significa que en ese punto en particular, las dos ecuaciones que representan diferentes líneas son válidas para ese punto en particular. Es decir, el par de números (x,y) que representa el punto de intersección resuelve ecuaciones. Encontrar este punto es similar a resolver estas ecuaciones. Puedes encontrar la intersección usando álgebra más fácilmente que graficando dos líneas.
At what point y = 2x - 8 intersect the line represented by 2x + 3y = 10. Let's solve these equations for x and y. y = 2x - 8 (equation 1) 2x = 10 - 3y (equation 2) Putting equation 2 in equation 1 y = 10 -3y - 8 4y = 2 y = 1/2 To find value of x, put value of x in equation 1 1/2 = 2x - 8 1 = 2(2x - 8) 1 = 4x - 16 4x = 1 + 16 4x = 17 x = 17/4 Thus, the point of intersection of two lines is (17/4, 1/2).
Si las líneas en un plano no se cortan, entonces las líneas son paralelas. En este caso, NO hay un par de números (x, y) que satisfagan ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Dos ecuaciones lineales pueden representar un solo punto o pueden representar líneas paralelas que nunca se cruzan. Hay otra posibilidad: las dos ecuaciones podrían representar la misma línea. En este caso, una cantidad infinita de puntos (x, y) a lo largo de la línea satisfacen las dos ecuaciones (que en realidad debe ser la misma ecuación disfrazada).