GRE Álgebra | Operaciones con Expresiones Algebraicas

Una expresión que contiene variables, números y símbolos de operación se llama expresión algebraica . Cada expresión se puede escribir como un solo término o como una suma de términos.
Estos son algunos ejemplos de expresiones algebraicas.

(1): 5x + 2y + 7 
(2): 2x2 + 3y2 + 5
(3): x3z + 2x2 + 3x + 9
(4): 4x/(2x + 1) 

Un número multiplicado por las variables se llama coeficiente de un término.
En el ejemplo anterior (2), 2 es el coeficiente de 2x ² y 3 es el coeficiente de 3y ² y 5 es la constante.

Las operaciones realizadas en la expresión algebraica son:

1. Sumas y Restas:
   Al realizar sumas o restas sobre expresiones algebraicas se suman o restan coeficientes del mismo grado.
   Por ejemplo:

   => 3x + 4x = 7x
   => a3 + 4a2 - 3a2 + 2 = a3 + a2 + 2 

2. Multiplicación:
   dos expresiones algebraicas se pueden multiplicar multiplicando cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.
   Por ejemplo:

   => (3a + 3)(2a - 8) = 3a(2a) + 3a(-8) + 3(2a) - 3(8)
                       = 6a2 - 24a + 6a - 24
                       = 6a2 - 18a - 24  

3. Factor común:
   un número o variable se puede factorizar de cada término de expresión si es común en todos los términos.
   Por ejemplo:

   => 3y + 15 = 3(y + 5)
   => 9x2 - 3x = 3x(3x - 1)
   => 4y2 + 8y/ 2y+ 4 = 4y(y + 2)/ 2(y+2) =  4y/2 (where y ≠ 2 ) 

4. Identidad:
   se puede definir como una declaración de igualdad entre dos expresiones algebraicas y es cierta para todos los valores posibles.
   Por ejemplo:

   (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
   (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
   (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
   (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
   x2 - y2 = (x + y)(x - y)
   x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2) 
   x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) 
   x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx)
   x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
   (x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz 

Una ecuación es verdadera solo para ciertos valores de las variables.

1. Ecuación lineal en una variable:

   2a + 4 = 8 

2. Ecuación lineal en dos variables:

   5a + 7b = 49 

3. Una ecuación cuadrática en una variable:

   4a2 + 2a = 16