Grupo cociente en la teoría de grupos

Prerrequisito: Conocimiento de Grupos , Cosets .

Introducción:
Podemos decir que “o” es la operación binaria en el conjunto G si: G es un conjunto no vacío & G * G = { (a,b) : a , b∈ G } y o : G * G – > G. Aquí, aob denota la imagen del par ordenado (a,b) bajo la función / operación o.
Ejemplo:  “+” se denomina operación binaria en G (cualquier conjunto no vacío) si y solo si: a+b ∈G; ∀ a,b ∈G y a+b dan el mismo resultado cada vez que se suman.

Estructura algebraica:
Un conjunto G no vacío equipado con 1/más operaciones binarias se denomina estructura algebraica.
Ejemplo – a. (N,+) y b. (R, + , .), donde N es un conjunto de números naturales & R es un conjunto de números reales. Aquí ‘ . ‘ (punto) especifica una operación de multiplicación.

GRUPO:
Una estructura algebraica (G , o) donde G es un conjunto no vacío & ‘o’ es una operación binaria definida en G se denomina Grupo si la operación binaria “o” satisface las siguientes propiedades:

Cierre – a ∈ G ,b ∈ G => aob ∈ G ; ∀ a,b ∈ G 
 

1. Asociatividad – (aob)oc = ao(boc) ; ∀ a,b,c ∈ G. 
    
2. Elemento de identidad: existe e en G tal que aoe = eoa = a; ∀ a ∈ G (Ejemplo: para la suma, la identidad es 0). 
    
3. Existencia de Inversa – Para cada elemento a ∈ G ; existe una inversa(a-1)∈ G tal que : aoa-1 = a-1oa = e. 
    

Grupo abeliano: 
una estructura algebraica (G , o) donde G es un conjunto no vacío & ‘o’ es una operación binaria definida en G se denomina grupo abeliano si es un grupo (es decir, satisface G1, G2, G3 & G4) y además cumple 

Commutative - aob = boa ∀ a,b ∈ G

Subgrupo normal:
Sea G un grupo abeliano y la composición en G se ha denotado por multiplicidad.
Sea H cualquier subgrupo de G. Si x es un elemento arbitrario de G, Hx es la clase lateral derecha de H en G y xH es la clase lateral izquierda de H en G, entonces G se denomina subgrupo normal si:

Hx = xH ; ∀x ∈ G or
xhx-1 ∈ H ; ∀x ∈ G & h ∈ H

Grupo cociente:
Sea G cualquier grupo y sea N cualquier subgrupo normal de G. Si ‘a’ es un elemento de G, entonces aN es una clase lateral izquierda de N en G. Dado que N es normal en G, aN = Na ( clase lateral izquierda = clase lateral derecha).
Podemos decir que Na es la clase lateral de N en G. 
G/N denota el conjunto de todas las clases laterales de N en G.

Quotient/Factor Group = G/N = {Na ; a ∈ G } = {aN ; a ∈ G} (As aN = Na)

Si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G, entonces, los conjuntos G/N de todas las clases laterales de N en G son un grupo con respecto a la multiplicación de clases laterales en G/N. Se llama el grupo cociente/factor de G por N.
A veces se le llama ‘Clase residual de G módulo N’.
Si la composición en el grupo es suma, ‘+’, entonces G/H se define como:

Quotient/Factor Group = G/N = {N+a ; a ∈ G } = {a+N ; a ∈ G} (As a+N = N+a)

NOTA –  El elemento de identidad de G/N es N.
Ejemplo 1 – Considere el grupo G con módulo de suma 6 donde G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Sea N = {0, 3),
entonces el grupo cociente/factor es :
G/N = { aN ; un ∈ G } = { un{0,3} ; a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}
= {0{0,3}, 1{0,3}, 2{0,3}, 3{0,3}, 4{0, 3}, 5{0,3} }
= { {(0+0) mod6 , (0+3) mod6 }, { (1+0) mod6 , (1+3) mod6 } , { (2+0) mod6 , (2+3) mod6 } , { (3+0) mod6 , (3+3) mod6 }, { (4+0) mod6 , (4+3) mod6 }, { (5+0) mod6 , (5+3) mod6 } }
= {{0,3}, {1,4}, {2,5}, {3,0}, {4,1}, {5,2} }
= {{0 ,3}, {1,4}, {2,5}}

Ejemplo 2: Sea G = {1, -1, i, -i } y H = {1, -1}; H es el subgrupo normal de G en la operación binaria ‘,’. ¿Cuál será el grupo cociente; G/H?
G/N = { unN ; a ∈ G } = {a{1,-1} ; a ∈ {1,-1,i,-i}
= {1.{1,-1}, -1.{1,-1}, i{1,-1}, -i.{1,-1 }}
={{1.1,1.-1}, {-1.1,-1.-1}, {i.1, i.-1}, {-i.1, -i.-1}} =
{ {1,-1}, {-1,1}, {i,-i}, {-i,i}}
={ {1,-1}, {i,-i}}
En otras palabras, podemos digamos que si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G, entonces G/N de todas las clases laterales de N en G junto con una composición binaria definida por:

NaNb = Nab ; where Na ∈ G/N, Nb ∈ G/N is a group.

G/N se llama el grupo cociente de G por N.

Propiedades del grupo Cociente/Factor:

1. Si N es un subgrupo normal de un grupo finito G, entonces –
   O(G/N) = O(G)/O(N), donde: O(G/N) => No de clases distintas derecha/izquierda de N En g.
2. Si N es un subgrupo normal de un grupo finito G tal que el índice de N en G es primo, el grupo de factores G/N es cíclico.
3. El grupo de factores de un grupo abeliano es abeliano, pero lo contrario no es cierto.
4. Cada grupo de factores de un grupo cíclico es cíclico, pero lo contrario no es cierto.