Hallar la inversa de una array cuadrada utilizando el teorema de Cayley Hamilton en MATLAB

Matrix es el conjunto de números dispuestos en filas y columnas para formar una array rectangular. Aquí, esos números se llaman las entradas o elementos de esa array. Una array rectangular de (m*n) números en forma de ‘m’ líneas horizontales (filas) y ‘n’ líneas verticales (llamadas columnas), se denomina array de orden m por n, que se escribe como m × n array.

Nota: Si m=n, es decir, Número de Filas = Número de Columnas en una Array ‘A’, entonces se dice que ‘A’ es una Array Cuadrada de orden ‘n’.

La inversa de una array cuadrada:

Si ‘A’ es una array cuadrada no singular (|A| ≠ 0) de orden ‘n’, entonces existe una array A ^-1 de nxn , que se denomina array inversa de ‘A’, que satisface la siguiente propiedad :

AA^{-1 = A-1A = I}_ⁿ, where I_n is  the Identity matrix of order n

Podemos encontrar el inverso de una array cuadrada usando varios métodos como:

Método Cayley-Hamilton
Eliminación gaussiana
Método de Newton
Método de descomposición de Eigen

Teorema de Cayley-Hamilton:

En el Dominio del Álgebra Lineal, según el teorema de Cayley-Hamilton, toda array cuadrada ‘A’ de orden ‘n’ satisface su propia ecuación característica, la cual viene dada por:

|A-λIn| = 0 
Here 'In' is the Identity Matrix  
of Order 'n' (same as that of A's Order)
and 'λ' is some Real Constant.

Expandiendo la ecuación característica anterior de ‘A’, obtenemos:

λⁿ + C₁λ^n-1 + C₂λ^n-2 + . . . + C_nI_n = 0, 
where C₁, C₂, . . . , C_n are Real Constants.

De acuerdo con el teorema de Cayley-Hamilton, la ecuación característica anterior de ‘A’ se satisface por sí misma, por lo que tenemos:

Aⁿ + C₁A^n-1 + C₂A^n-2+ . . . + C_nI_n = 0 , 
where C₁, C₂, . . . , C_n are Real Constants.

Pasos para encontrar el inverso de una array cuadrada usando el teorema de Cayley Hamilton:

Paso 1: Para una array cuadrada no singular dada ‘A’ de orden ‘n’, encuentre su ecuación característica |A-λI _n | = 0.

Expanda el Determinante de modo que se reduzca en el siguiente formato:

λ_n + C₁λ^n-1 + C₂λ^n-2 + . . . + C_nI_n = 0,
where C₁, C₂, . . . , C_n are Real Constants.

Paso 2: Según el teorema de Cayley-Hamilton, la ecuación característica anterior de ‘A’ se satisface por sí misma, por lo tanto:

Aⁿ + C₁A^n-1 + C₂A^n-2+ . . . + C_nI_n = 0

Paso 3: Multiplicar por A ^-1 en ambos lados de la ecuación anterior la reduce a:

A^n-1 + C₁A^n-2 + C₂A^n-3 + . . . C_n-1I_n + C_nA^-1 = 0

Paso 4: Encuentra A ^-1 simplificando y reordenando los términos de la ecuación anterior, entonces A ^-1 es:

A^{-1 = (-1/C}_{^{n)[ An-1 + C1An-2 + C2An-3 + . . . Cn-1In ]}}

Las funciones de MATLAB utilizadas en el siguiente código son:

disp(“txt”): este método muestra el mensaje-‘txt’ al usuario.
entrada («txt»): este método muestra el mensaje-‘txt’ y espera a que el usuario ingrese un valor y presione la tecla Retorno.
poly(A): Este método devuelve los n+1 coeficientes del polinomio Característica de la array ‘A’ de orden ‘n’.
length(X): Este método devuelve el número de elementos del vector ‘X’.
round(x): este método redondea ‘x’ a su entero más cercano.

Ejemplo:

Matlab

% MATLAB Implementation to find Inverse
% of a Square Matrix using Cayley Hamilton theorem:
clear all 
clc       
disp("Finding Inverse of a Square Matrix  using
Cayley  Hamilton theorem in MATLAB | GeeksforGeeks")
A=input('Enter the Matrix A: ');
 
% To find Coefficients of Characteristic Equation of Matrix 'A'
cf=poly(A); 
 
% To find the Number of Coefficients in
% the Characteristic Equation of Matrix 'A'
n=length(cf);
 
% To find the Inverse of A
inverse = cf(1)*A^(n-2);
for i=2:n-1
inverse=inverse+cf(i)*A^(n-i-1);
end
 
% Checking whether |A|=0 or not
if  round(cf(n))==0  
    disp('Inverse of A does not exist as it is a singular matrix..')
else
   inverse=inverse/(-cf(n));
   disp('Inverse of A: ')
   disp(inverse)
end

Producción:

Array de entrada:

$A = \begin{bmatrix} -5 & 4& 2\\ 4& -5& 2\\ 2 & 2& -8\\ \end{bmatrix}$