Hipérbola

Las secciones cónicas se utilizan en la vida cotidiana, desde una guitarra, un paso elevado hasta una pelota de fútbol. Todo tiene una curva que pertenece a las curvas de las secciones cónicas. Hay cuatro tipos de secciones cónicas: círculos, parábolas, elipses e hipérbolas. Hipérbola y Elipse son tipos similares de secciones cónicas. Una hipérbola se define como una curva formada por todos los conjuntos de puntos cuya diferencia de distancias a los dos puntos fijos del plano es constante. Algunos ejemplos de hipérbola son el límite de una guitarra. Veamos la curva con más detalle. 

¿Qué es Hipérbola?

Una hipérbola se define como el conjunto de puntos en un plano, cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. La siguiente figura muestra la forma básica de la hipérbola con sus diferentes partes. Tenemos cuatro puntos P ₁ , P ₂ , P ₃ y P ₄ . Medimos la diferencia entre las distancias de cada punto desde F ₁ y F ₂ .

La diferencia en la distancia de la que hablamos al definir la hipérbola es la diferencia entre la distancia desde el punto más lejano y el punto más cercano. Estos dos puntos se llaman focos de la hipérbola. El punto medio del segmento de recta que los une se llama centro de la hipérbola. En la figura dada, la línea que pasa por los dos focos se llama eje transversal de la hipérbola y la línea que se dibuja perpendicular al eje transversal se llama eje conjugado. Los vértices de la parábola se definen como los puntos donde la curva se cruza con el eje poligonal. 

Digamos que la distancia entre los dos focos viene dada por “2c”, la distancia entre dos vértices se puede decir “2a”. Definamos b, 

segundo = 

La longitud del eje conjugado es 2b. 

Ahora calculemos la diferencia entre P ₁ F ₁ y P ₁ F ₂ . Considere la figura anterior, hemos tomado los puntos A y B en los vértices. Sabemos, 

BF ₁ – BF ₂ = AF ₂ – AF ₁

BA + AF ₁ – BF ₂ = AB + BF ₂ – AF ₁

AF ₁ = BF ₂

Entonces, BF ₁ – BF ₂ = BA + AF ₁ – BF ₂ = BA = 2a

Excentricidad

La excentricidad se define como la relación de “c” y “a”. Sabemos que c ≥ a, por eso su valor está entre 0 y 1. 

La distancia entre focos en términos de excentricidad viene dada por 2ae. 

Ecuaciones estándar de hipérbola

Hay dos tipos de ecuaciones estándar de hipérbola que son posibles. En las ecuaciones estándar, por lo general, asumimos que el centro de la hipérbola está en el origen y los focos están en los ejes x e y respectivamente. La siguiente figura muestra dos posibilidades en la ecuación estándar de una hipérbola. 

Derivamos la ecuación para la hipérbola, 

ecuación de hipérbola

La figura que se muestra a continuación representa una hipérbola cuyo centro está en el origen y el eje mayor es el eje x. F1 y F2 representan los focos de la hipérbola, digamos que tomamos un punto A(x, y) en cualquier parte de la hipérbola. 

Sabemos que la diferencia de la distancia del punto A a dos focos se da como “2a”. 

AF ₁ – AF ₂ = 2a

Usemos la fórmula de la distancia de Euclides para sustituir los valores de las distancias. 

= 

Cuadrando ambos lados, 

= 

= 

Al simplificar, 

= 

Cuadrando de nuevo, 

= 

= 

Por lo tanto, esta es la ecuación estándar para la hipérbola. 

Lato Recto

Es un segmento de línea que es perpendicular al eje transversal y pasa a través de los focos. Los extremos del latus rectum se encuentran en la intersección entre la hipérbola y esta línea. 

La longitud del latus rectum en hipérbola está dada por, 

Problemas de muestra

Pregunta 1: Encuentra la ecuación de la hipérbola con focos en (2,0) y (-2,0) y los vértices están en (-1,0) y (1,0). 

Solución: 

Como los focos se encuentran en el eje x. Sabemos que el eje mayor de la hipérbola es solo el eje x. Entonces, es de la forma, 

Como los vértices están en (-1,0) y (1,0), a = 1. 

c = 

Lo sabemos, 

do ² = un ² + ^{segundo 2}

⇒ 2 ² = 1 + ^{segundo 2}

⇒ 3 = ^{segundo 2}

⇒ segundo = √3 

Entonces, la ecuación de la hipérbola se convierte en, 

Pregunta 2: Encuentra la ecuación de la hipérbola con focos en (4,0) y (-4,0) y los vértices están en (-1,0) y (1,0). 

Solución: 

Como los focos se encuentran en el eje x. Sabemos que el eje mayor de la hipérbola es solo el eje x. Entonces, es de la forma, 

Como los vértices están en (-1,0) y (1,0), a = 1. 

c = 

Lo sabemos, 

do ² = un ² + ^{segundo 2}

⇒ 4 ² = 1 + ^{segundo 2}

⇒ 15 = ^{segundo 2}

⇒ segundo = √15 

Entonces, la ecuación de la hipérbola se convierte en, 

Pregunta 3: Encuentra la ecuación de la hipérbola con focos en (12,0) y (-12,0) y la longitud del lado recto es 36.

Solución: 

Como los focos se encuentran en el eje x. Sabemos que el eje mayor de la hipérbola es solo el eje x. Entonces, es de la forma, 

 c = 

Sabemos que la longitud del latus rectum es 36. 

Sabemos, 

do ² = un ² + ^{segundo 2}

⇒ 12 ² = un ² + 18a 

⇒0 = un ² + 18a – 144

a = -24 y 6. 

Entonces, valor de a = 6 

De las ecuaciones anteriores, 

segundo2 ⁼ 18 × 6 

b = 6√3

Entonces, la ecuación de la hipérbola se convierte en, 

Pregunta 4: Encuentra la ecuación de la hipérbola con focos en (6,0) y (-6,0) y la longitud del lado recto es 18.

Solución: 

Como los focos se encuentran en el eje x. Sabemos que el eje mayor de la hipérbola es solo el eje x. Entonces, es de la forma, 

 c = 6

Sabemos que la longitud del latus rectum es 18. 

Sabemos, 

do ² = un ² + ^{segundo 2}

⇒ 6 ² = un ² + 9a 

⇒0 = un ² + 9a – 36

a = – 12 y 3. 

Entonces, valor de a = 3 

De las ecuaciones anteriores, 

b ² = 3 × 6 

b = 3√2

Entonces, la ecuación de la hipérbola se convierte en, 

Pregunta 5: Encuentre el centro, los focos y la longitud del lado recto para la hipérbola dada. 

Solución: 

Sabemos que esta es la forma estándar de la ecuación de la hipérbola, por lo que el centro se encuentra en el origen. En esta hipérbola, 

a = 6 y b = 3. 

La longitud del latus rectum está dada por, 

do ² = un ² + ^{segundo 2}

do ² = 6 ² + 3 ²

c2 ⁼ 36+ 9 

c = √45

Las coordenadas de los focos son (c,0) y (-c,0) 

Así, los focos son (√45,0) y (-√45,0).