Hiperplano, Subespacio y Semiespacio

1. Hiperplano:
Geométricamente, un hiperplano es una entidad geométrica cuya dimensión es uno menos que la de su espacio ambiental.

¿Qué significa? 
Significa lo siguiente. Por ejemplo, si toma el espacio 3D, entonces el hiperplano es una entidad geométrica que es 1 adimensional. Así que será de 2 dimensiones y una entidad de 2 dimensiones en un espacio 3D sería un plano. Ahora, si tomas 2 dimensiones, entonces 1 adimensional sería una entidad geométrica unidimensional, que sería una línea y así sucesivamente. 

• El hiperplano generalmente se describe mediante una ecuación de la siguiente manera 

  X ^T norte + segundo = 0

• Si expandimos esto para n variables obtendremos algo como esto 

  X ₁ norte ₁ + X ₂ norte ₂ + X ₃ norte ₃ + ……….. + X _norte norte _norte + segundo = 0

• En solo dos dimensiones obtendremos algo como esto, que no es más que una ecuación de una línea. 

  X ₁ norte ₁ + X ₂ norte ₂ + segundo = 0

Ejemplo: 

Let us consider a 2D geometry with

Though it's a 2D geometry the value of X will be

So according to the equation of hyperplane it can be solved as

So as you can see from the solution the hyperplane is the equation of a line. 

2. Subespacio:
Los hiperplanos, en general, no son subespacios. Sin embargo, si tenemos hiperplanos de la forma,

X ^T n = 0

Es decir, si el plano pasa por el origen, entonces un hiperplano también se convierte en un subespacio.

3. Medio espacio:
considere esta imagen bidimensional que se muestra a continuación.

Entonces, aquí tenemos un espacio bidimensional en X ₁ y X ₂ y como hemos comentado antes, una ecuación en dos dimensiones sería una línea que sería un hiperplano. Entonces, la ecuación de la recta se escribe como

X ^T norte + segundo = 0 

Entonces, para estas dos dimensiones, podríamos escribir esta línea como discutimos anteriormente 

X ₁ norte ₁ + X ₂ norte ₂ + segundo = 0

Puede notar en el gráfico anterior que todo este espacio bidimensional se divide en dos espacios; Uno de este lado (+ve mitad del plano) de una recta y el otro de este lado (-ve mitad del plano) de una recta. Ahora, estos dos espacios se llaman semiespacios.

Ejemplo:

Consideremos el mismo ejemplo que hemos tomado en el caso del hiperplano. Entonces, al resolver, obtuvimos la ecuación como 

x ₁ + 3x ₂ + 4 = 0

Pueden presentarse 3 casos. Analicemos cada caso con un ejemplo.

Caso 1:

x ₁ + 3x ₂ + 4 = 0 : En la recta

Consideremos dos puntos (-1,-1). Cuando ponemos este valor en la ecuación de la línea, obtuvimos 0. Entonces podemos decir que este punto está en el hiperplano de la línea. 

Caso 2: 
Del mismo modo, 

x ₁ + 3x ₂ + 4 > 0 : Semiespacio positivo

Considere dos puntos (1,-1). Cuando ponemos este valor en la ecuación de la línea, obtuvimos 2, que es mayor que 0. Entonces podemos decir que este punto está en el semiespacio positivo. 
Caso 3: 

x ₁ + 3x ₂ + 4 < 0 : Medio espacio negativo

Considere dos puntos (1,-2). Cuando ponemos este valor en la ecuación de la línea, obtenemos -1, que es menor que 0. Entonces podemos decir que este punto está en el semiespacio negativo.