Homomorfismo e isomorfismo de grupo

Introducción:
Podemos decir que “o” es la operación binaria en el conjunto G si: G es un conjunto no vacío & G * G = { (a,b) : a , b∈ G } y o : G * G – > G. Aquí, aob denota la imagen del par ordenado (a,b) bajo la función / operación o.
Ejemplo: “+” se denomina operación binaria en G (cualquier conjunto no vacío) si y solo si: a+b ∈G; ∀ a,b ∈G y a+b dan el mismo resultado cada vez que se suman.
Ejemplo real : ‘+’ es una operación binaria en el conjunto de números naturales ‘N’ porque a+b ∈ N; ∀ a,b ∈N y a+b a+b dan el mismo resultado cada vez que se suman. 

Leyes de la Operación Binaria:
En una operación binaria o, tal que: o : G * G –> G en el conjunto G es:
1. Conmutativa –

 aob = boa ; ∀ a,b ∈G

Ejemplo: ‘+’ es una operación binaria en el conjunto de números naturales ‘N’. Tomando 2 números naturales aleatorios cualesquiera, digamos 6 y 70, aquí a = 6 & b = 70, 
a+b = 6 + 70 = 76 = 70 + 6 = b + a
Esto es cierto para todos los números que se encuentran bajo el número natural.

2. Asociativo –

ao(boc) = (aob)oc ; ∀ a,b,c ∈G

Ejemplo: ‘+’ es una operación binaria en el conjunto de números naturales ‘N’. Tomando 3 números naturales aleatorios, digamos 2, 3 y 7, aquí a = 2 & b = 3 y c = 7,
LHS: a+(b+c) = 2 +( 3 +7) = 2 + 10 = 12
RHS: (a+b)+c = (2 + 3) + 7 = 5 + 7 = 12
Esto es cierto para todos los números que se encuentran bajo el número natural.

3. Distributivo Izquierdo – 

ao(b*c) = (aob) * (aoc) ; ∀ a,b,c ∈G

4. Derecho Distributivo –

 (b*c) oa = (boa) * (coa)  ; ∀ a,b,c ∈G

5. Cancelación Izquierda –

 aob =aoc  => b = c  ; ∀ a,b,c ∈G

6. Derecho de Cancelación –

 boa = coa  => b = c ; ∀ a,b,c ∈G

Estructura algebraica:
Un conjunto G no vacío equipado con 1/más operaciones binarias se denomina estructura algebraica. 
Ejemplo: A. (N,+) y b. (R, + , .), donde N es un conjunto de números naturales & R es un conjunto de números reales. Aquí ‘ . ‘ (punto) especifica una operación de multiplicación. 

GRUPO : 
Una estructura algebraica (G , o) donde G es un conjunto no vacío & ‘o’ es una operación binaria definida en G se denomina Grupo si la operación binaria “o” satisface las siguientes propiedades:

1. Cierre – 

a ∈ G ,b ∈ G  => aob ∈ G ;  ∀ a,b ∈ G

2. Asociatividad –

 (aob)oc = ao(boc) ; ∀ a,b,c ∈ G.

3. Elemento de identidad : 
existe e en G tal que aoe = eoa = a ; ∀ a ∈ G (Ejemplo: para la suma, la identidad es 0)

4. Existencia de Inversa – 
Para cada elemento a ∈ G ; existe una inversa(a ^-1 )tal que : ∈ G tal que – aoa ^-1 = a ^-1 oa = e

Homomorfismo de grupos:
Sean (G,o) & (G’,o’) 2 grupos, un mapeo “f ” de un grupo (G,o) a un grupo (G’,o’) se dice que es un homomorfismo si –

f(aob) = f(a) o' f(b) ∀ a,b ∈ G

El punto esencial aquí es: La aplicación f : G –> G’ no puede ser uno ni sobre la aplicación, es decir, ‘f’ no necesita ser biyectiva.

Ejemplo:
si (R,+) es un grupo de todos los números reales bajo la operación ‘+’ & (R -{0},*) es otro grupo de números reales distintos de cero bajo la operación ‘*’ (Multiplicación) & f es un mapeo de (R,+) a (R -{0},*), definido como: f(a) = 2 ^a ; ∀ a ∈ R
Entonces f es un homomorfismo como – f(a+b) = 2 ^a+b = 2 ^a * 2 ^b = f(a).f(b) . 
Entonces se cumple la regla del homomorfismo y, por lo tanto, f es un homomorfismo.

Homomorfismo en – Un mapeo ‘f’, que es homomorfismo & también en. 

Homomorfismo sobre: 
​​una ‘f’ de mapeo, que es homomorfismo & también sobre.

Isomorfismo de Grupo:
Sean (G,o) & (G’,o’) 2 grupos, una aplicación “f ” de un grupo (G,o) a un grupo (G’,o’) se dice que es un isomorfismo si –

1. f(aob) = f(a) o' f(b) ∀ a,b ∈ G
2. f is a one- one mapping
3. f is an onto mapping.

Si ‘f’ es un mapeo isomorfo, (G,o) será isomorfo al grupo (G’,o’) y escribimos:

G ≅ G'

Nota: Un mapeo f: X -> Y se llama:

1. Uno – Uno – Si x ₁ ≠x2, entonces f(x ₁ ) ≠ f(x ₂ ) o si f(x ₁ ) = f(x ₂ ) => x ₁ = x _2. Donde x ₁ ,x ₂ ∈ X
2. Sobre: ​​si cada elemento del conjunto Y es la imagen f de al menos un elemento del conjunto X. 
3. Biyectiva – Si es uno uno & Sobre.

Ejemplo de grupo de isomorfismo:
si G es el grupo multiplicativo de 3 unidades de raíz cúbica, es decir, (G,o) = ( {1, w, w ² } , *) donde w ³ = 1 y G’ es un grupo aditivo de enteros módulo 3 – (G’, o’) = ( {1,2,3) , + ₃ ). Entonces : G ≅ G’ , decimos que G es isomorfo a G’.

• La estructura y el orden de ambas tablas son iguales. El mapeo ‘f’ se define como :
  f : G -> G’ de tal forma que f(1) = 0 , f(w) = 1 & f(w ² ) = 2.
• Propiedad del homomorfismo: f(aob) = f(a) o’ f(b) ∀ a,b ∈ G . Tomemos a = w & b = 1
  LHS : f(a * b) = f( w * 1 ) = f(w) = 1.
  RHS : f(a) + ₃ f(b) = f(w) + ₃ f(1) = 1 + 0 = 1
  =>LHS = RHS
• Esta aplicación f es uno-uno & sobre también, por lo tanto, un homomorfismo.