Homomorfismos de grupo y subgrupo normal

Requisito previo:  Grupos 

Homomorfismo:  
Una aplicación (función) f de un grupo (G,*) a un grupo (G’,+) se denomina homomorfismo de grupo (o morfismo de grupo) de G a G’ si,   f (a*b) = f (a) + f (b) , para todo a, b pertenecen al conjunto G.

Ejemplo –

1. La función f(x)= ^ax de (R,+) a (R _o ,*), aquí R es el conjunto de todos los números reales y R _o es el conjunto de todos los números reales excepto 0. como para cualquier n, m ∈ R f(n+m)= a ^n+m = a ⁿ * a ^m =f(n)*f(m) , que es homomorfismo.
    
2. Para el grupo cíclico Z ₃ = {0, 1, 2} y el Z(conjunto de enteros) con suma, 
      La función f(x)=x mod3 de Z ₃ a (Z,+) es un homomorfismo de grupo.

NOTA – para un homomorfismo f:G →G’ 

• f es un monomorfismo si f es inyectiva (uno-uno).
• f   es epimorfismo, si f es sobreyectiva (sobre).
• f es endomorfismo si G = G’.
• G’ se llama la imagen homomórfica del grupo G.

Teoremas relacionados con el homomorfismo:
Teorema 1 – Si f es un homomorfismo de un grupo (G,*) a (G’,+) y si e y e’ son sus respectivas identidades, entonces  
f(e) = e’. f(n ^-1 ) = f(n) ^-1 ,n ∈ GRAMO .
Prueba –

1. Sea n ∈ G, entonces n * e = a = e * a 
=> f(n * e) = f(a) = f(e * n)
=> f(n) + f(e) = f (n) = f(e) + f(n) , porque f es un homomorfismo 
=> f(e) es la identidad en G’
 => f(e) = e’. Entonces se prueba que la imagen de la identidad de G bajo el morfismo de grupo f es la identidad de G’.

2. Sea n’ la inversa de n ∈ G, entonces a * a’ = e = a’ * a
=> f(a * a’) = f(e) = f(a’ * a)
=> f (a) + f(a’) = e’ = f(a’) + f(a), porque f es un homomorfismo
=> f(a’) = f(a)’.
Así queda probado que la imagen de la inversa de cualquier elemento de G bajo el morfismo de grupo f es la inversa de la imagen de a en G’.

Teorema 2 – Si f es un homomorfismo de un grupo (G,*) a un grupo (G’,+), entonces 
H es un subgrupo de G => f(H) es un subgrupo de G’.
H’ es un subgrupo de G’ => f'(H’) ={x ∈ G / f(x) ∈ H’} es un subgrupo de G.

Prueba –
como f(H) es un subgrupo de G’ y f(H) ≠ ∅ porque e ∈ H => f(e) = e’ ∈ f(H) donde e’ es identidad en G’ .
Si a’, b’ ∈ f(H), entonces a’ + b’ ∈ f(H) 
=> existe a, b en H tal que f(a) = a’ y f(b) = b’ 
= > a’ + (b’)’ = f(a) + f(b)’ = f(a) + f(b’), porque f(b)’ = f(b’)  
= f(a * b ‘), porque f es un homomorfismo.
Pero a ∈ H , b’ ∈ H => a * b’ ∈ H 
=> f(a * b’) ∈ f(H) 
=> f(a * b’) = a’ + (b’)’ ∈ f(H). Por tanto, f(H) es un subgrupo de G’.

2. como f(H’)’ es un subgrupo de G y f(H)’ ≠ ∅ porque al menos e ∈ f(H’)’ 
Si a, b ∈ f(H’)’ , entonces a, b ∈ f(H’)’ , entonces f(a) ∈ H’ y f(b) ∈ H’ 
=> f(a) + f(b)’ ∈ H, luego H es un subgrupo de G. 
=>f( a) + f(b’) ∈ H’ => f(a * b’) ∈ H’ , por lo tanto f es homomorfismo.

Subgrupo Normal:
Un subgrupo ( N ,*) de un grupo ( G ,*) se llama subgrupo normal de ( G ,*) si, para g ∈ G y n ∈ N, tenemos g*n*g ^-1 ∈ n _ Lo escribimos como HIG. Ejemplo –  

1.  el grupo N=({1},*) es el subgrupo normal del grupo G=({1,-1},*) porque para g=1 y n= 1, g*n*g ^-1 = 1*1* (1 ^-1 ) = 1 ∈ N
       Además, para g=-1 y n=1 aquí g*n*g ^-1 =1 ∈ N.
2. el grupo N=({1,-1},*) es un subgrupo normal del grupo G=({1,-1,i,-i},*).
3.   Un grupo que contiene el elemento de identidad {e} de cualquier grupo G, es normal a G.

NOTA – 

• Si N es un subgrupo de G, podemos decir g*N=N*g ,∀g∈ G donde g*N es la clase lateral izquierda y N*g es la clase lateral derecha de H.
• Si todos los subgrupos de un grupo no abeliano son normales, se llama grupo hamiltoniano .
• Para cualquier grupo G 1.) G mismo y 2.) {e} donde e es, elemento de identidad, se denominan subgrupos normales impropios y, aparte de estos dos, se denominan grupos propios.
• Un grupo que no tiene subgrupos normales propios se llama grupo simple.
• La intersección de dos subgrupos normales también es un subgrupo normal.
• Todo subgrupo de un grupo cíclico es un subgrupo normal.

Teoremas Relacionados con el subgrupo normal:
Teorema 1 – Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
Demostración –
Sea N cualquier subgrupo de cualquier grupo abeliano G. 
Si g ∈ G (entonces también tenemos g ^-1 como el inverso de g ) y n ∈ N, entonces, g*n*g ^-1 = (n*g )*g ^-1 , debido a que G es abeliana entonces conmutativa
=n*(g*g ^-1 ) , debido a que G es abeliana, entonces asociativa
=n*e = n ∈ N
Por lo tanto, g ∈ G , n ∈ N => g *n*g ^-1 ∈ N , entonces H es un subgrupo normal de G.

Teorema 2 –   Un subgrupo (N,*) de un grupo (G,*) es normal si y solo si g*N*g ^-1 = N para todo g ∈ G.
Prueba – 
Sea N un subgrupo normal de G. Entonces , para todo g ∈ G, n ∈ N => g*n*g ^-1 ∈ N
=> g*N*g ^-1 ⊆ N ( 1)
Además, para todo g ∈ G, g*N*g ^{– 1} ⊆ N
=> g ^-1 *N*(g ^-1 ) ^-1 ⊆ N , como g ^-1 ∈ G.
=> g ^-1 *N*g ⊆ N
=> g*(g ^-1 *N* g)*g- ¹ ⊆ g*N*g- ¹
=> (g*g- ¹ )*N*(g*g- ¹) ⊆ g*N*g ^-1       
=> norte ⊆ g*N*g ^-1                                         (2)

de la ecuación 1 y 2, 
g*N*g ^-1 =N, ∀ g ∈ G

Por el contrario,  sea g*N*g ^-1 =H , ∀ g ∈ G
entonces g*N*g ^-1 => g*N*g ^-1 ⊆ N
=> g*n*g ^-1 ∈ N , para n ∈ N.
Así, se demuestra que si y solo si N es un subconjunto de G, entonces g*N*g ^-1 =N , ∀ g ∈ G.