La identidad de Bezout (lema de Bezout)

Sean a y b cualquier número entero y g su máximo común divisor de a y b . Entonces, existen enteros x e y tales que ax por

ax+by = g
g=gcd(a, b)

Podemos encontrar x’ e y’ que satisfagan (1) utilizando algoritmos euclidianos . Todas las soluciones posibles de (1) están dadas por,

x=x'+  \dfrac{b}{g} k
y=y'- \dfrac{a}{g} k
k \in \Z

donde k es cualquier número entero.

Es fácil ver por qué esto se sostiene. Simplemente conecte las soluciones a (1) para tener una intuición.

Además, es importante ver que para la ecuación general de la forma,

ax+by=u

u=gcd(a, b) es el entero positivo más pequeño para el cual ax+by=u tiene una solución con valores integrales de x e y .

Declaración:  Si mcd(a, c)=1 y mcd(b, c)=1, entonces mcd(ab, c)=1.

Prueba: 

Lo anterior se puede probar fácilmente usando la Identidad de Bezout.

ax+cy=1 y bu+cv=1

Multiplica las dos ecuaciones anteriores,

(ax+cy)(bu+cv)=1

Lo anterior implica,

1 es el único número entero que divide LHS y RHS.

Por lo tanto, mcd(ab, c) = 1.

Referencia:

https://brilliant.org/wiki/bezouts-identity/

https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por arvinderavy y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *