En Cálculo, para cada tipo de función, existe una fórmula para evaluar directamente su integral. Pero, ¿y si se nos pide que calculemos la integral de un producto de dos funciones? La integración por partes es la respuesta a esto. La fórmula para la Integración por partes se da como:
∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx
Dónde:
- u es la primera función de x: u(x)
- v es la segunda función de x: v(x)
Como sugiere el nombre, en Integración por partes, primero verificamos qué tipo de dos funciones componen la expresión dada que se integrará. Luego verificamos su precedencia de acuerdo con una regla simple llamada regla ILATE . Esta regla nos ayuda a determinar qué función debe tratarse como la primera función de x que es u(x) y qué función debe denominarse como la segunda función que es v(x).
Regla ILATE
ILATE es un acrónimo del tipo de funciones que se enumeran a continuación. De las dos funciones dadas, la función que está más arriba en la jerarquía comparativamente se trata como la primera función y la otra como la segunda función.
Pasos después de encontrar u(x) y v(x)
- Derive u(x) con respecto ax, es decir, evalúe du/dx.
- Integre v(x) con respecto a x, es decir, evalúe ∫v dx.
- Utilice los resultados obtenidos en los pasos 1 y 2 en la fórmula: ∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx
Ejemplos
Encuentre la integración de la siguiente expresión utilizando la regla por partes:
Pregunta 1. ∫ e x x dx
Solución:
Eligiendo u y v,
u = x y v = e x
Diferenciándote:
u'(x) = d(u)/dx
= d(x)/dx
= 1
Usando la fórmula,
∫ mi X X dx = X ∫e X dx − ∫1 (∫ mi X dx) dx
= xe x − e x + C
= mi x (x – 1) + C
Pregunta 2. ∫ x sen x dx
Solución:
Eligiendo u y v,
u = x y v = sen x
Diferenciándote:
u'(x) = d(u)/dx
= d(x)/dx
= 1
Usando la fórmula,
∫ x sen x dx = x ∫ sen x dx − ∫1 ∫(sen x dx) dx
= − x cos x − ∫−cos x dx
= − x cos x + sen x + C
Pregunta 3. ∫ ln x dx
Solución:
Dado que aquí hay solo una función, debemos asumir la otra función para que se le pueda aplicar la fórmula de integración por partes. Además, las preguntas que tienen funciones logarítmicas solo se pueden resolver por partes.
Eligiendo u y v,
u = ln x y v = 1
Diferenciándote:
u'(x) = d(u)/dx
= d(lnx)/dx
= 1/x
Usando la fórmula,
∫ ln x dx = ln x∫ 1 dx − ∫ 1/x ∫(1 dx) dx
= x ln x − ∫(1/x) x dx [puesto que, ∫ 1 dx = x ]
= x en x − ∫ 1 dx
= x en x − x + C
= x (ln x − 1) + C
Pregunta 4. ∫ sen −1 x dx
Solución:
Dado que aquí hay solo una función, debemos asumir la otra función para que se le pueda aplicar la fórmula de integración por partes.
Eligiendo u y v,
u = sen −1 x y v = 1
Diferenciándote:
u'(x) = d(u)/dx
= d(sen −1 x )/dx
= 1/√(1 − x 2 )
Usando la fórmula,
∫ sen −1 x dx = sen −1 x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x 2 ) ∫(1 dx) dx
= x sen −1 x − ∫( x/√(1 − x 2 ) )dx
Aquí, suponiendo t = 1 − x 2 y al diferenciar ambos lados,
dt = −2x dx
−dt/2 = x dx
∫ sen −1 x dx = x sen −1 x − ∫−(1/2√t ) dt
= x sen −1 x + 1/2∫t −1/2 dt
= x sen −1 x + t 1/2 + C
= x sen −1 x + √(1 − x 2 ) + C
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por vidhiagrawal305 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA