Integral definida

Por lo general, las integrales hasta ahora se evalúan como una función o una expresión algebraica en términos de la variable. Las Integrales Definidas evalúan hasta una constante, nos dan un valor único. Las integrales intuitivamente definidas son representativas del área bajo una curva de una posición a otra posición. Estas posiciones se declaran antes de evaluar la integral como límites de las integrales.

Integral definida da el área entre estos dos puntos

Definamos la integral definida formalmente ahora,

La integral definida se denota por $\int^{b}_{a}f(x)dx$ . Aquí, ‘a’ y ‘b’ son los límites de la integral. “a” se llama límite superior de la integral y “b” se llama límite inferior.

La integral definida se puede introducir como el límite de una suma o si tiene una antiderivada en el intervalo [a, b], entonces su valor es la diferencia entre los valores de F en los extremos, es decir, F(b) – Fa).

Evaluación de integrales definidas

Encontrar el área encerrada por una gráfica de cualquier función dentro de los límites mencionados (por ejemplo, [a, b]) en la gráfica se conoce como evaluar una integral definida. En Integrales Definidas, el límite va de a a b.

$\int_{a}^{b}f(x)=F[a]-F[b]$

Es igual al área de la figura por encima del eje x y por debajo del eje y.

Pregunta 1: Integrar la integral definida, $\int_{2}^{3}x^3dx$

Solución:

integrando, $\int_{2}^{3}x^3dx=[\frac{x^4}{4}]_{2}^{3}\\=20,25-4=16,25$

Pregunta 2: Evaluar, $\int_{0}^{\pi/2}cos x dx$

Solución:

$\int_{0}^{\pi/2}cosx dx= [sinx]_{0}^{\pi/2}\\(sin\pi/2)-(sin0)=1-0=1$

Integral definida como límite de una suma

Suponiendo que f es una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Entonces, su gráfica está arriba del eje x.

La integral definida $\int^{b}_{a}f(x)dx$ es el área delimitada por la curva y = f(x), las ordenadas x = a y x = b y el eje x.

Para evaluar esta área, considere la región PQRSTP en la siguiente figura:

Sea P x = a y T sea x = b. Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales denotados por [x ₀ , x ₁ ], [x ₁ , x ₂ ], [x ₂ , x ₃ ] ….[x _r-1 , x _r ] …. .[x _n-1 , x _n ] donde x ₀ = a, x ₁ = a + h, x ₂ = a + 2h …. y x _n = a + nh o n = $\frac{ba}{h}$ . Como n ⇢ ∞, h ⇢ 0.

La región PRSQP bajo consideración es la suma de n subregiones, donde cada subregión se define en subintervalos [x _{r – 1} , x _r ], r = 1, 2, 3, …, n.

En la figura anterior se puede ver que

Área del rectángulo (ABLC) < área de la región (ABDCA) < área del rectángulo (ABDM)

Como x _r – x _r–1 → 0, es decir, h → 0, las tres áreas que se muestran en la figura se vuelven casi iguales entre sí. Ahora formamos las siguientes sumas,

$s_{n} = h[f(x_{0}) + .... + f(x_{n})] = h\sum^{n-1}_{r=0}f(x_{r}) \\ S_{n} = h[f(x_{1}) + .... + f(x_{n})] = h\sum^{n}_{r=1}f(x_{r})$

s _n y S _n denotan la suma de las áreas de todos los rectángulos inferiores y los rectángulos superiores elevados sobre subintervalos [x _r-1 , x _r ] para r = 1, 2, 3,…. respectivamente.

A medida que las franjas n → ∞ se vuelven más y más estrechas, los valores límite de (2) y (3) son los mismos en ambos casos y el valor límite común es el área requerida bajo la curva.

Asi que,

$\lim_{n \to \infty}s_{n} = lim_{n \to \infty}S_{n} = \text{area of the region PQRSTP} = \int^{b}_{a}f(x)$

Ahora, esta ecuación también se puede reescribir como,

$\int^{b}_{a}f(x) = \lim_{h \to 0}[f(x) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) ......f(a + (n-1)h)] \\$

dónde, $h = \frac{b-a}{n} \to 0 \text{ as } n \to \infty$

Esta expresión se conoce como definición de integral definida como límite de suma.

Pregunta 1: Encuentra $\int^{2}_{0}(x^{2} + 1)dx$ como el límite de la suma.

Solución:

Por la definición dada anteriormente,

$\int^{b}_{a}f(x) = \lim_{h \to 0}[f(x) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) ......f(a + (n-1)h)]$ dónde $h = \frac{b-a}{n} \to 0 \text{ as } n \to \infty$

Aquí, a = 0 y b = 2, f(x) = x ² + 1, h = $\frac{2 - 0}{n} = \frac{2}{n}$

$\int^{2}_{0}(x^{2} + 1) = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[f(0) + f(\frac{2}{n}) + f(\frac{4}{n}) + ......f(\frac{2(n-1)}{n})] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[1 + (\frac{2}{n}^{2} + 1) + \frac{4}{n}^{2} + 1 + ......\frac{2(n-1)}{n}^{2} + 1] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[\underbrace{(1 + 1+ .... 1)}_\text{n terms} + \frac{1}{n^{2}}(2^{2} + 4^{2} + ..... (2n - 2)^{2}] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[n + \frac{4}{n^{2}}(1^{2} + 2^{2} + .... (n-1)^{2}] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[n + \frac{4}{n^{2}}\frac{((n-1)n(2n-1)}{6}] \\ \text{evaluating the limit} = \frac{14}{3}$

Pregunta 2: Integrar $\int_{0}^{2}e^xdx$

Solución:

$\int_{0}^{2}e^xdx=(2-0)lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}[e^0+e^\frac{2}{n}+e^\frac{4}{n}+....+e^\frac{2n-2}{n}$

Aplicando GP, a=1. r=e ^2/n , obtendremos,

$\int_{0}^{2}e^xdx=(2)lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}[\frac{e^\frac{2n}{n}-1}{e^\frac{2}{n}-1}]\\2lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}[\frac{e^2-1}{e^\frac{2}{n}-1}$

Usando, $lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$

$\int_{0}^{2}e^xdx=e^2-1$

Pregunta 3: Evaluar $\int_{-1}^{2}5^xdx$

Solución:

a=-1, b=2, f(x)= ^5x

h=(ba)/n=3/n, nh=3

Por definición: $\int^{b}_{a}f(x) = \lim_{h \to 0}[f(x) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) ......f(a + (n-1)h)] \\$

$\int_{-1}^{2}5^xdx=\lim_{h\to0}h[f(-1)+f(-1+h)+f(-2+h)+.....f(-1+(n-1)h)]\\\lim_{h\to0}h[5^{-1}+5^{-1}.5^h+.....5^{-1}.5^{(n-1)h}\\\lim_{h\to0}h[\frac{5^-1.(5^{nh}-1)}{5^h-1}]\\\lim_{h\to0}\frac{h}{5^h-1}5^{-1}(5^3-1)$

$\frac{1}{log5}[5^2-\frac{1}{5}]=\frac{124}{5log5}$

Propiedades de la integral definida

Propiedad 1: esta propiedad establece que los límites son intercambiables en integrales definidas con un signo negativo adicional.

$\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx$

Propiedad 2: Esta propiedad tiene límites de a a sí mismo por lo tanto, la figura no es más que un punto y no hay área de un punto, por lo tanto, la integración con tales límites es siempre cero.

$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$

Propiedad 3: Esta propiedad es válida ya que C es una constante que se puede sacar fácilmente de la integración ya que no está incluida en la función dada.

$\int_{a}^{b}cf(x)dx=c \int_{a}^{b}f(x)dx$

Propiedad 4: esta propiedad establece que el valor de la integración seguirá siendo el mismo después de dividir la función conectada con la suma o la diferencia.

$\int_{a}^{b}[f(x){_{-}^{+}}g(x)]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx{_{-}^{+}}\int_{a}^{b}g(x)dx$

Propiedad 5: Esta propiedad nos ayuda a resolver una integral en partes adyacentes. Como está claro que se agrega un límite más c en RHS donde c se encuentra solo entre a y b.

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

Propiedad 6: Esta propiedad establece que la variable utilizada para integrar la función no importa siempre que los límites y el valor de la función sean los mismos.

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt$

Propiedad 7: $\int_{a}^{b}cdx=c[b-a]$

Aquí, C es cualquier constante.

Propiedad 8: Esta propiedad dice que si el valor de la función es mayor que cero, entonces su integración también será mayor que cero.

Si f(x) ≥ 0 para a≤x≤b entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ≥ 0.

Propiedad 9: Si el valor de una función es mayor que el valor de otra función entonces, la integración de esa función también será mayor que la integración de la otra función.

Si f(x) ≥ g(x) para a≤x≤b entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx \ge \int_{a}^{b}g(x)dx$

Propiedad 10: Si p ≤ f(x) ≤ P para a≤x≤b entonces p[ab]≤ $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ≤ P[ab]

Propiedad 11: $|{\int_{a}^{b}f(x)dx }| \le \int_{a}^{b}|f(x)|dx$

Teoremas fundamentales del cálculo

Hemos definido la integral definida como el área encerrada por la función f(x) desde x = a hasta x = b. Entonces, la integral definida también se llama función de área. Denotamos esta función de área por A(x), está dada por,

$A(x) = \int^{x}_{a}f(x)dx$

En base a esta definición, enunciaremos dos teoremas fundamentales.

Primeros teoremas fundamentales del cálculo:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea A (x) la función de área. Entonces A′(x) = f (x), para todo x ∈ [a, b].

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo:

Sea f una función continua definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea F una antiderivada de f. Después $\int_{a}^{b}f(x)dx = [F(x)]^{b}_{a} = F(b) - F(a)$

Nota: este teorema es realmente útil ya que nos brinda medios para calcular una integral definida sin calcularla realmente como el límite de una suma.

Pasos para calcular:

Encuentre la integral indefinida $\int f(x)dx$ . Llamémoslo F(x). No hay necesidad de mantener constante «C», se cancelará de todos modos al final.
Simplemente encuentra F(b) – F(a) = [F(x)] ^b_a que es el valor de esta integral definida.

Veamos un ejemplo de este teorema.

Pregunta 1: Calcula la integral: $\int^{3}_{2}x^{2}dx$

Solución:

Se puede resolver utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo.

$F(x) = \int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3}$

Para encontrar la integral definida, introduzcamos los valores. Sea S el valor de la integral definida y a= 2 y b = 3.

$S = F(b) - F(a) = 9 - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$